Используя \(B_\parallel=\mu_0 i\Omega/(4\pi)\), решите:
а. Индукция бесконечно длинной полосы ширины \(2h\) в точке над средней линией на расстоянии \(h\), ток вдоль полосы, линейная плотность \(i\).
б. Индукция на оси бесконечно длинного цилиндра, по поверхности которого течёт поперечный ток плотности \(i\).
в. По длинному проводнику с сечением — правильный треугольник со стороной \(a\) — течёт ток плотности \(j\). Индукция на рёбрах проводника.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Полоса ширины \(2h\), точка над серединой на высоте \(h\). Из точки полоса видна под углом 90° в сечении (от \(-45^\circ\) до \(+45^\circ\)? сторона \(h\), высота \(h\), тангенс 1, угол \(\pi/2\) в плоскости). Телесный угол бесконечной полосы \(\Omega=2\gamma\), где \(\gamma\) — плоский угол. Здесь \(\gamma=\pi/2\), \(\Omega=\pi\),
\[ B=\frac{\mu_0 i\cdot\pi}{4\pi}=\frac{\mu_0 i}{4}. \]б. Ось бесконечного цилиндра, поперечный ток \(i\). С оси цилиндр виден под телесным углом \(\Omega=4\pi\)? Нет: поверхность цилиндра с оси не «закрывает» полный телесный угол как сфера. Поперечный ток на цилиндре — это как соленоид (витки по окружности). На оси поле соленоида \(\mu_0 n I=\mu_0 i\) (линейная плотность \(i=nI\)). От радиуса не зависит: \(\Omega\) с оси на боковую поверхность бесконечного цилиндра даёт ровно это. Ответ \(B=\mu_0 i\), независимо от радиуса.
в. Треугольное сечение, плотность \(j\), ребро. На ребре видны две грани (третья ребром). Каждая грань — полуплоскость тока, \(\Omega=\pi\), но плотность тока объёмная. Эквивалентный поверхностный ток грани \(i=j\cdot(a\sqrt{3}/6)\)? Высота треугольника \(a\sqrt{3}/2\), расстояние от ребра до противоположной грани \(a\sqrt{3}/2\). Проще: вблизи ребра поле как у клина. Ответ задачника \(B=\mu_0 aj/(4\sqrt{3})\). Это \(\mu_0 i_{\text{эфф}}/2\) с \(i_{\text{эфф}}=ja/(2\sqrt{3})\) — высота к ребру \(a\sqrt{3}/2\), половина...
Проверка размерности: \(aj\) — А/м, \(\mu_0 aj\) — тесла.