По плоской поверхности течёт ток линейной плотности \(i\). Докажите, что составляющая индукции, параллельная поверхности и перпендикулярная \(\mathbf{i}\), равна \(B_\parallel=\mu_0 i\Omega/(4\pi)\) (в СГС \(i\Omega/c\)), где \(\Omega\) — телесный угол, под которым видна поверхность.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Носители с поверхностной плотностью \(\sigma\) едут со скоростью \(v\), \(i=\sigma v\). Их электрическое поле имеет нормальную составляющую. Для любой плоской фигуры поток через малую площадку у точки наблюдения даёт
\[ E_\perp=\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}, \]где \(\Omega\) — телесный угол, под которым фигура видна из этой точки (доказательство — то же, что для поля диска через \(\Omega\)). Тогда
\[ B_\parallel=\mu_0\varepsilon_0 v E_\perp=\mu_0\varepsilon_0 v\cdot\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\mu_0 i\Omega}{4\pi}. \]Направление \(\mathbf{B}_\parallel\) — в плоскости, перпендикулярной \(\mathbf{i}\).
Для бесконечной плоскости \(\Omega=2\pi\) (полупространство), \(B_\parallel=\mu_0 i/2\) — задача 9.3.3. Для полуплоскости \(\Omega=\pi\), поле вдвое меньше. Формула работает и в СГС: \(B_\parallel=i\Omega/c\).