Савченко · Глава 9. Постоянное магнитное поле · § 9.3. Магнитное поле тока, распределённого по поверхности или пространству

Савченко, задача 9.3.6

↑ задача в главе

Задача 9.3.6магнитное сжатие пластины
Условие

а. Через пластину прямоугольного сечения \(a\times b\) (\(a\ll b\)) пропустили ток \(I\). Модуль Юнга пластины \(E\). На сколько уменьшится размер \(a\) под действием магнитных сил?

б. Мягкая медь «течёт» при давлении \(4\cdot10^7\) Па, сталь — при \(5\cdot10^8\) Па. Оцените минимальную индукцию поля, под действием которого будут «течь» медь и сталь.

I p a b a ≪ b магнитное сжатие Δa
К задаче 9.3.6. Пластина сечения \(a\times b\) с током: магнитное давление сжимает толщину \(a\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея Ток в тонкой пластине создаёт поле листа, а оно давит на сам ток — магнитное давление \(B^2/(2\mu_0)\). Сжатие толщины — закон Гука. Для «течения» металла приравниваем это давление пределу текучести.

а. Сечение \(a\times b\), \(a\ll b\), ток вдоль длинной стороны, \(i=I/b\). Поле у поверхности \(B=\mu_0 i/2=\mu_0 I/(2b)\). Магнитное давление (самодействие: половина поля «чужая» для каждого слоя)

\[ p=\frac{B^2}{2\mu_0}=\frac{\mu_0 I^2}{8b^2}. \]

Закон Гука: \(\Delta a/a=p/E\), где \(E\) — модуль Юнга. Отсюда

\[ \Delta a=\frac{\mu_0 a I^2}{8Eb^2}. \]

б. Материал течёт, когда \(B^2/(2\mu_0)=p_{\text{теч}}\), \(B=\sqrt{2\mu_0 p}\):

\[ B_{\text{Cu}}=\sqrt{2\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot4\cdot10^7}=\sqrt{32\pi}\approx10\ \text{Тл}, \] \[ B_{\text{Fe}}=\sqrt{2\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot5\cdot10^8}\approx\sqrt{400\pi}\approx35\ \text{Тл}. \]
Проверка. Давление 1 Тл: \(B^2/(2\mu_0)\approx4\cdot10^5\) Па \(\approx4\) атм. 10 Тл — 400 атм, как раз предел мягкой меди. 35 Тл — только импульсные установки. Формула \(\Delta a\) линейна по \(a\) и квадратична по току — сильный ток плющит шину.
Ответа) \(\Delta a=\mu_0 a I^2/(8Eb^2)\); б) \(B_1\approx10\) Тл, \(B_2\approx35\) Тл.
Следующая задача 9.3.7 →
наверх оглавление