а. Сплошной цилиндр вырезан из намагниченного до насыщения железа так, что ось совпадает с направлением намагничивания. Докажите эквивалентность его поля полю поперечного тока по поверхности с линейной плотностью, равной моменту единицы объёма.
б. Из длинного стержня, намагниченного вдоль оси, вырезали кубик так, что ребро идёт вдоль намагничивания. Во сколько раз индукция в центре кубика меньше, чем в стержне?
в. Индукция в центре цилиндра длины \(l\) и радиуса \(r\). Момент единицы объёма \(M\). Пределы \(r\ll l\) и \(r\gg l\).
г. То же, если по оси цилиндра просверлено отверстие малого радиуса.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. \(\mathbf{j}_m=\operatorname{rot}\mathbf{M}=0\) в объёме, \(i_m=[\mathbf{M}\times\mathbf{n}]=M\) на боковой поверхности (на торцах \(\mathbf{M}\parallel\mathbf{n}\), ток нуль). Поле совпадает с полем цилиндра, несущего поперечный ток плотности \(i=M\).
б. Длинный стержень: \(B_{\text{ст}}=\mu_0 M\). Кубик — три пары граней с токами \(i=M\). В центре поле трёх взаимно перпендикулярных «коротких соленоидов». Телесный угол каждой пары граней даёт вклад \(\mu_0 M/3\)? Точнее: куб из центра виден так, что осевое поле равно \(\mu_0 M\cdot(2/3)\)? Ответ: в 1,5 раза меньше, то есть \(B_{\text{куб}}=2\mu_0 M/3\), отношение \(B_{\text{ст}}/B_{\text{куб}}=3/2\). Да: длинный стержень «собран» из кубиков торец к торцу, поле каждого усиливается соседями; один кубик имеет коэффициент размагничивания \(1/3\), \(B=\mu_0(M-M/3)=2\mu_0 M/3\), в \(1{,}5\) раза меньше \(\mu_0 M\).
в. Цилиндр длины \(l\), радиуса \(r\). На оси в центре — как у конечного соленоида:
\[ B=\frac{\mu_0 M}{\sqrt{1+4(r/l)^2}}. \]Пределы: \(r\ll l\) (длинный) \(B\to\mu_0 M\); \(r\gg l\) (диск) \(B\to\mu_0 Ml/(2r)\).
г. Узкое отверстие вдоль оси — вычитаем поле длинного тонкого соленоида того же \(M\), но «дырки». В центре
\[ B=\mu_0 M\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt{1+4(r/l)^2}}\Bigr). \]