Савченко · Глава 9. Постоянное магнитное поле · § 9.3. Магнитное поле тока, распределённого по поверхности или пространству

Савченко, задача 9.3.16

↑ задача в главе

Задача 9.3.16тороид

Условие

Через тороидальный соленоид из \(N\) витков протекает ток \(I\). Внешний радиус тора \(R\), внутренний \(r\). Определите минимальную и максимальную индукцию внутри соленоида.

К задаче 9.3.16. Тороидальный соленоид: внутренний радиус \(r\), внешний \(R\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Тороид — соленоид, свёрнутый в бублик. Циркуляция по окружности радиуса \(x\) внутри тора: \(B\cdot2\pi x=\mu_0 NI\). Поле сильнее у внутренней стенки.

По круговой оси тора \(N\) витков с током \(I\). Симметрия: линии \(\mathbf{B}\) — окружности внутри сердечника. Возьмём такую окружность радиуса \(x\), \(r\le x\le R\). Она охватывает все \(N\) витков:

\[ B\cdot 2\pi x=\mu_0 NI\qquad\Longrightarrow\qquad B=\frac{\mu_0 NI}{2\pi x}. \]

Максимум на внутренней стенке \(x=r\), минимум на внешней \(x=R\):

\[ B_{\max}=\frac{\mu_0 NI}{2\pi r},\qquad B_{\min}=\frac{\mu_0 NI}{2\pi R}. \]

Снаружи и в «дырке» тора контур не охватывает тока (или охватывает туда-обратно), \(B=0\).

Проверка. Если тор тонкий, \(R-r\ll r\), поле почти однородно и равно \(\mu_0 n I\), где \(n=N/(2\pi r_{\text{ср}})\) — как у прямого соленоида. Разброс \(B_{\max}/B_{\min}=R/r\). Для \(R=2r\) поле на внутренней стенке вдвое больше.

Ответ\(B_{\max}=\mu_0 NI/(2\pi r)\), \(B_{\min}=\mu_0 NI/(2\pi R)\).

Следующая задача 9.3.17 →