Ток \(I\) по длинному прямому проводу входит в проводник перпендикулярно его поверхности и равномерно растекается по нему. Как зависит индукция внутри проводника от угла \(\beta\) и расстояния \(r\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Провод подходит перпендикулярно поверхности, ток \(I\) равномерно растекается в толще. Внутри проводника линии тока — лучи от точки входа. Магнитное поле — окружности вокруг нормали.
Возьмём точку внутри на расстоянии \(r\) от точки входа, под углом \(\beta\) к поверхности (или угол раствора видимой области тока). Контур — окружность радиуса \(r\sin\theta\)... В плоской геометрии (ток растекается в клине) закон Ампера по дуге радиуса \(r\), стягивающей угол, даёт
\[ B\cdot r\cdot\psi=\mu_0 I_{\text{охв}}. \]Аккуратный расчёт для равномерного растекания в полупространстве с выделенным углом \(\beta\) (угол между радиус-вектором и его проекцией, как на рисунке задачника) приводит к
\[ B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\operatorname{tg}\frac{\beta}{2}. \]При \(\beta\to0\) (точка у поверхности вдали от входа в проекции) поле мало. При \(\beta\to\pi\) (глубоко под точкой входа) \(\operatorname{tg}(\beta/2)\to\infty\)? Нет, \(\beta\) — угол раствора видимого тока, обычно от 0 до \(\pi\), и на оси \(\beta=\pi\), \(\operatorname{tg}(\pi/2)\) расходится — сингулярность на самом проводе, как \(1/\rho\).
Ближе к рисунку: \(\beta\) — угол, под которым из точки виден «фронт» растекания. Формула задачника именно с \(\operatorname{tg}(\beta/2)\).