Савченко · Глава 9. Постоянное магнитное поле · § 9.3. Магнитное поле тока, распределённого по поверхности или пространству

Савченко, задача 9.3.19

↑ задача в главе

Задача 9.3.19пересечение пластин без тока

Условие

Распределение тока в двух взаимно перпендикулярных пластинах толщины \(h\) показано на рисунке. В области пересечения пластин тока нет. Нарисуйте график зависимости индукции от \(x\).

К задаче 9.3.19. Две перпендикулярные пластины толщины \(h\); в пересечении тока нет. Справа — эскиз \(B(x)\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Две перпендикулярные пластины несут ток плотности \(j\), в квадрате пересечения тока нет. Поле — суперпозиция двух шин (задача 9.3.15б). Вдоль оси \(x\) одна шина даёт «трапецию», вторая — константу или нуль.

Каждая пластина толщины \(h\) — широкая шина с \(B=\mu_0 jx'\) внутри и \(\mu_0 jh/2\) снаружи (9.3.15б). В области пересечения тока нет: из поля нужно вычесть поле «вырезанного» квадрата \(h\times h\) с током \(j\).

Вдоль прямой, указанной на рисунке (ось \(x\) через пересечение), поле растёт от нуля в центре (симметрия: токи с четырёх сторон) до максимума на краю пересечения. Максимум

\[ B_{\max}=\frac{\mu_0 hj}{2} \]

— как у одной шины снаружи. Дальше, выходя из второй пластины, поле спадает (вычитается вклад уходящей шины) и на бесконечности стремится к нулю: полный ток системы конечен в поперечнике, далеко как у провода.

График: линейный рост от 0 до \(x=h/2\), затем спад к нулю. Изломы — на границах пластин.

Проверка. В самом центре пересечения \(B=0\) по симметрии (четыре тока «крестом» без тока в середине — как пустая клетка). Далеко \(B\to0\). Максимум не может превысить поле одной шины \(\mu_0 hj/2\).

Ответ\(B_{\max}=\mu_0 hj/2\); график — рост до \(x=h/2\), затем спад.

Следующая задача 9.3.20 →