В бесконечной пластине толщины \(h\) вырезали цилиндрическую полость радиуса \(h/2\), ось которой параллельна поверхностям пластины. Во всём объёме пластины, за исключением полости, течёт ток, направленный вдоль оси полости. Найдите распределение индукции магнитного поля вдоль прямой \(OA\), которая проходит через ось полости и перпендикулярна поверхностям пластины. Плотность тока \(j\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пластина толщины \(h\), ток плотности \(j\) вдоль оси будущей полости. Полость — цилиндр радиуса \(h/2\), ось посередине пластины. Прямая \(OA\) — нормаль к пластине через ось полости, \(x\) — расстояние от оси (от середины).
Поле сплошной пластины на расстоянии \(x\) от средней плоскости: \(B_{\text{пл}}=\mu_0 jx\) при \(x<h/2\) и \(\mu_0 jh/2\) при \(x>h/2\). Поле цилиндра радиуса \(R=h/2\) с током плотности \(j\): внутри \(B_{\text{цил}}=\mu_0 j x/2\) (формула 9.3.15а: \(B=\mu_0 (j\pi R^2) x/(2\pi R^2)=\mu_0 jx/2\)), снаружи \(B_{\text{цил}}=\mu_0 j R^2/(2x)=\mu_0 j h^2/(8x)\).
В полости (и на \(OA\) при \(0<x<h/2\)) вычитаем:
\[ B=B_{\text{пл}}-B_{\text{цил}}=\mu_0 jx-\frac{\mu_0 jx}{2}=\frac{\mu_0 jx}{2}. \]Вне пластины на продолжении \(OA\) (\(x>h/2\)):
\[ B=\frac{\mu_0 jh}{2}-\frac{\mu_0 j h^2}{8x}=\frac{\mu_0 hj}{2}\Bigl(1-\frac{h}{4x}\Bigr). \]