Определите индукцию в длинной цилиндрической полости внутри цилиндрического проводника, если ось полости параллельна оси проводника и отстоит от неё на \(d\). Ток распределён равномерно, плотность \(j\).
К задаче 9.3.21. Цилиндрическая полость внутри цилиндрического проводника, оси параллельны.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Смещённая полость = полный цилиндр с током \(j\) минус цилиндр-полость с током \(j\). Внутри полости оба поля однородны (поле внутри равномерно заряженного по току цилиндра линейно по \(\mathbf{r}\)), разность — константа \(\mu_0 j d/2\).
Большой цилиндр, ось \(O\). Полость — цилиндр, ось \(O'\) параллельна, \(OO'=d\). Ток плотности \(j\) в материале, в полости нуль.
Поле внутри сплошного цилиндра с равномерным током \(\mathbf{B}=\tfrac12\mu_0[\mathbf{j}\times\boldsymbol{\rho}]\), где \(\boldsymbol{\rho}\) — от его оси. В точке полости
Модуль \(B=\mu_0 jd/2\), поле однородно по всей полости. Направление перпендикулярно плоскости осей и току.
Проверка. При \(d=0\) (полость по центру) \(B=0\) — симметрия. При малой полости у поверхности \(d\approx R\), поле \(\sim\mu_0 jR/2\) — как на оси у поверхности сплошного цилиндра. Однородность — тот же трюк, что поле в сферической полости внутри равномерно заряженного шара.