а. Два цилиндра радиуса \(R\), оси которых находятся на расстоянии \(a\) друг от друга, пересекаются, как показано на рисунке. Через заштрихованные области вдоль осей в противоположных направлениях текут токи, плотность которых \(\pm j\). Найдите индукцию магнитного поля в области, лежащей между заштрихованными областями.
б. Используя результат предыдущей задачи и применяя метод предельного перехода, найдите при \(a\to0\), \(j\to\infty\) распределение линейной плотности тока на поверхности цилиндра радиуса \(R\), которое даёт однородное внутри цилиндра магнитное поле индукции \(B_0\). Как связана максимальная линейная плотность тока с индукцией поля \(B_0\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Два цилиндра радиуса \(R\), оси на расстоянии \(a\). В лунках (пересечениях) токи \(\pm j\). Область «между заштрихованными» — это внутри обоих цилиндров (или вне обоих — в зависимости от рисунка). По 9.3.21 поле разности
\[ B=\frac{\mu_0}{2}j\cdot a=\frac{\mu_0 ja}{2} \]и однородно. Направление — поперёк линии осей.
б. Сближаем оси, \(a\to0\), одновременно \(j\to\infty\) так, что \(B_0=\mu_0 ja/2\) фиксировано. Лунки схлопываются в поверхность цилиндра, ток становится поверхностным. На угле \(\varphi\) от линии осей толщина лунки \(\sim a\sin\varphi\), линейная плотность
\[ i=j\cdot(a\sin\varphi)=\frac{2B_0}{\mu_0}\sin\varphi. \]Максимум на «экваторе» \(i_{\max}=2B_0/\mu_0\). Именно такое распределение (\(i\propto\sin\varphi\)) создаёт однородное поле внутри цилиндра — как у длинного намагниченного поперёк стержня (задача 9.3.24).