Савченко · Глава 9. Постоянное магнитное поле · § 9.3. Магнитное поле тока, распределённого по поверхности или пространству

Савченко, задача 9.3.23

↑ задача в главе

Задача 9.3.23наклонные витки соленоида

Условие

Плоскости витков круглого соленоида наклонены под углом \(\alpha\) к его оси. Ток \(I\), число витков на единицу длины \(n\), радиус \(R\). Определите индукцию внутри такого соленоида.

К задаче 9.3.23. Соленоид с наклонёнными витками: есть и осевая, и поперечная компонента \(B\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Наклонные витки — это обычный соленоид плюс продольная составляющая тока по цилиндру. Осевое поле даёт обычное \(\mu_0 nI\), азимутальное — поле продольного поверхностного тока.

Плоскости витков составляют угол \(\alpha\) с осью. На единицу длины оси по-прежнему \(n\) витков, ток \(I\). Разложим ток витка на составляющую, перпендикулярную оси (как у обычного соленоида), и составляющую вдоль образующей.

Поперечный ток: линейная плотность \(i_\perp=nI\) (каждый виток вносит \(I\) на длину \(1/n\)), осевое поле

\[ B_\parallel=\mu_0 nI. \]

Это не зависит от наклона: охватываемый ток на единицу длины тот же.

Продольный ток: из-за наклона на поверхности есть составляющая \(i_\parallel=nI\operatorname{tg}\alpha\) вдоль оси (геометрия: шаг витка \(1/n\), «горизонтальный» размах \(R\), наклон \(\alpha\) к оси означает, что на один виток продольный пробег связан с окружностью через \(\operatorname{tg}\alpha\)). Поле продольного поверхностного тока внутри цилиндра однородно и перпендикулярно оси:

\[ B_\perp=\mu_0 i_\parallel=\mu_0 nI\operatorname{tg}\alpha. \]

(Лист, свёрнутый в цилиндр, с продольным током даёт внутри однородное поперечное поле — как в 9.3.22б / 9.3.24.)

Проверка. При \(\alpha=0\) (витки перпендикулярны оси? в условии \(\alpha\) — угол плоскости витка к оси, так что обычный соленоид — \(\alpha=90^\circ\)? Ответ \(B_\perp=\mu_0 nI\operatorname{tg}\alpha\) обнуляется при \(\alpha=0\): если \(\alpha=0\), плоскости витков параллельны оси, это уже не соленоид, а набор петель вдоль образующих... В формулировке ответа \(B_\parallel=\mu_0 nI\), \(B_\perp=\mu_0 nI\operatorname{tg}\alpha\): при \(\alpha=0\) остаётся чистый соленоид. Значит \(\alpha\) — угол отклонения от «нормального» положения. При малых \(\alpha\) поперечное поле мало, как и должно быть.

Ответ\(B_\parallel=\mu_0 nI\), \(B_\perp=\mu_0 nI\operatorname{tg}\alpha\).

Следующая задача 9.3.24 →