Савченко · Глава 9. Постоянное магнитное поле · § 9.3. Магнитное поле тока, распределённого по поверхности или пространству

Савченко, задача 9.3.24

↑ задача в главе

Задача 9.3.24стержень, намагниченный поперёк

Условие

Длинный цилиндрический железный стержень радиуса \(r\) намагничен в поле, перпендикулярном оси. Момент единицы объёма \(M\). Как зависит индукция от \(x\) на расстояниях, много меньших длины стержня?

К задаче 9.3.24. Железный стержень намагничен перпендикулярно оси; поле как функция \(x\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Стержень, намагниченный поперёк оси, эквивалентен поверхностному току \(i=M\sin\varphi\) — ровно распределение 9.3.22б. Внутри поле однородно \(\mu_0 M/2\), снаружи — поле диполя \(\propto(r/x)^2\).

Длинный цилиндр радиуса \(r\), намагниченность \(\mathbf{M}\) перпендикулярна оси. Объёмные токи нуль, на поверхности \(i=[\mathbf{M}\times\mathbf{n}]=M\sin\varphi\). Это в точности ток пункта 9.3.22б с \(i_{\max}=M\), значит внутри

\[ B=\frac{\mu_0 M}{2},\qquad x<r \]

(сравнивая \(i_{\max}=2B_0/\mu_0\) и \(i_{\max}=M\): \(B_0=\mu_0 M/2\)).

Снаружи поле двумерного диполя. На линии, параллельной \(\mathbf{M}\), на расстоянии \(x\) от оси

\[ B=\frac{\mu_0 M}{2}\Bigl(\frac{r}{x}\Bigr)^2,\qquad x>r. \]

На поверхности сшивка: оба выражения дают \(\mu_0 M/2\).

Коэффициент размагничивания поперечного цилиндра равен \(1/2\): \(H=M/2\), \(B=\mu_0(H+M)=\mu_0 M/2\) внутри — согласовано.

Проверка. При \(x=r\) оба куска совпадают. При \(x\to\infty\) поле \(\propto1/x^2\) — двумерный диполь (не \(1/x^3\): стержень бесконечный). Вдоль оси стержня на больших расстояниях поле не определено условием («много меньше длины»). Если намагнитить вдоль оси, было бы \(\mu_0 M\) внутри и 0 снаружи — совсем другая картина.

Ответ\(B=\mu_0 M/2\) при \(x<r\); \(B=(\mu_0 M/2)(r/x)^2\) при \(x>r\).

Следующая задача 9.4.1 →