Савченко · Глава 9. Постоянное магнитное поле · § 9.4. Магнитный поток

Савченко, задача 9.4.1

↑ задача в главе

Задача 9.4.1поток через площадку
Условие

Индукция однородного магнитного поля равна \(B\).

а. Чему равен магнитный поток через квадрат со стороной \(a\), плоскость которого расположена под углом \(60^\circ\) к направлению поля?

б. Чему равен поток через плоскую поверхность площади \(S\), расположенную под углом \(\alpha\) к направлению поля?

B 60° a a n плоскость под 60° к B Φ = B a² sin 60° = √3 B a² / 2
К задаче 9.4.1. Квадрат стороны \(a\), плоскость под углом \(60^\circ\) к однородному \(\mathbf{B}\); \(\mathbf n\) — нормаль к площадке.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея Поток \(\Phi=\mathbf{B}\cdot\mathbf{S}=BS\cos\theta\), где \(\theta\) — угол между \(\mathbf{B}\) и нормалью. Если плоскость составляет с полем угол \(\alpha\), то нормаль составляет с полем \(90^\circ-\alpha\) и \(\Phi=BS\sin\alpha\).

Индукция однородна, поэтому поток через плоскую площадку есть просто \(B\), умноженное на площадь проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную \(\mathbf{B}\).

В условии угол \(\alpha\) — между плоскостью и направлением поля. Тогда угол между нормалью и \(\mathbf{B}\) равен \(90^\circ-\alpha\), и

\[ \Phi=BS\cos(90^\circ-\alpha)=BS\sin\alpha. \]

а. Квадрат стороны \(a\), \(S=a^2\), \(\alpha=60^\circ\), \(\sin60^\circ=\sqrt{3}/2\):

\[ \Phi=Ba^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}Ba^2. \]

б. Произвольная плоская площадь \(S\) под углом \(\alpha\) к полю:

\[ \Phi=BS\sin\alpha. \]
Проверка. Плоскость вдоль поля (\(\alpha=0\)): поток нуль — линии скользят, не протыкают. Плоскость поперёк (\(\alpha=90^\circ\)): \(\Phi=BS\) — максимум. Если бы угол считали от нормали, в ответе стоял бы косинус; формулировка «под углом к направлению поля» — про плоскость, значит синус.
Ответа) \(\Phi=\sqrt{3}\,Ba^2/2\); б) \(\Phi=BS\sin\alpha\).
Следующая задача 9.4.2 →
наверх оглавление