Определите магнитный поток через выделенный на рисунке участок сферы радиуса \(R\). Индукция \(\mathbf{B}\) направлена вдоль оси симметрии этого участка.
К задаче 9.4.2. Участок сферы радиуса \(R\) между углами \(\alpha\) и \(\beta\); \(\mathbf{B}\) вдоль оси.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
\(\operatorname{div}\mathbf{B}=0\): поток через любой купол равен потоку через его проекцию на плоскость, перпендикулярную \(\mathbf{B}\). Сферический пояс проектируется в кольцо.
Однородное \(\mathbf{B}\) направлено вдоль оси симметрии участка сферы. Линии не начинаются и не кончаются, поэтому поток через сферическую «шапочку» равен потоку через плоский круг — её проекцию на экваториальную плоскость.
На рисунке участок ограничен двумя параллелями с угловыми радиусами \(\alpha\) и \(\beta\) (от оси). Проекция — кольцо с радиусами \(R\sin\alpha\) и \(R\sin\beta\), площадь \(\pi R^2(\sin^2\alpha-\sin^2\beta)\). Поток
Для сегмента от оси до угла \(\alpha\) (\(\beta=0\)) было бы \(\Phi=B\pi R^2\sin^2\alpha\) — поток через круг радиуса \(R\sin\alpha\).
Проверка. Полусфера (\(\alpha=\pi/2\), \(\beta=0\)): \(\Phi=B\pi R^2\) — поток через большой круг. Целая сфера: входящий и выходящий потоки сокращаются, полный поток нуль. При \(\alpha=\beta\) площадь нуль, поток нуль.