Савченко · Глава 9. Постоянное магнитное поле · § 9.4. Магнитный поток

Савченко, задача 9.4.3

Задача 9.4.3поток листа через замкнутую поверхность

Условие

Покажите, что магнитный поток, создаваемый плоскостью с линейной плотностью тока \(i\), через любую замкнутую поверхность равен нулю.

К задаче 9.4.3. Плоскость с линейной плотностью тока \(i\); поле с двух сторон противоположно, поток через замкнутую поверхность нуль.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Поле токового листа всюду соленоидально: линии \(\mathbf{B}\) не начинаются и не кончаются. Скачок терпит только касательная компонента — это ток, а не «магнитный заряд». Поток через любую замкнутую поверхность тождественно нуль.

Поле бесконечного листа (9.3.3) однородно с каждой стороны и противоположно направлено: \(\mathbf{B}=\pm(\mu_0 i/2)\,\hat{\mathbf{t}}\). Оно чисто касательное к листу: нормальная компонента равна нулю и непрерывна при переходе через плоскость.

Линии \(\mathbf{B}\) — прямые, параллельные листу. Они приходят с бесконечности и уходят на бесконечность, нигде не обрываясь. Для любой замкнутой поверхности сколько линий вошло, столько и вышло.

Формально \(\operatorname{div}\mathbf{B}=0\) всюду, включая сам лист. Скачок касательной компоненты даёт поверхностный ток (\(\operatorname{rot}\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}\)), но не дивергенцию. Магнитных зарядов нет — это один из уравнений Максвелла.

Проверка. Возьмём куб, пересечённый листом. Поток через грани, параллельные \(\mathbf{B}\), нуль (поле скользит). Через две торцевые грани потоки равны по модулю и противоположны по знаку (поле с разных сторон листа противоположно, а внешние нормали тоже). Сумма нуль.

Ответ\(\Phi=0\) через любую замкнутую поверхность.

Следующая задача 9.4.4 →