Докажите, что магнитный поток, создаваемый элементом тока, через любую замкнутую поверхность равен нулю.
К задаче 9.4.4. Элемент тока \(I\,\mathrm{d}\mathbf{l}\) и замкнутая поверхность: линии \(\mathrm{d}\mathbf{B}\) замкнуты.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Формула Био–Савара уже соленоидальна: \(\operatorname{div}(\mathrm{d}\mathbf{l}\times\mathbf{r}/r^3)=0\) при \(r\neq0\). Линии элемента тока — окружности вокруг оси \(\mathrm{d}\mathbf{l}\), они замкнуты. Поток через замкнутую поверхность тождественно нуль.
Угловая структура — та же, что у поля «магнитной жидкости», текущей по окружностям вокруг оси \(\mathrm{d}\mathbf{l}\). Все линии замкнуты. Замкнутая линия не может дать ненулевой поток через замкнутую поверхность.
Иначе: любой реальный ток — замкнутый контур (или уходит на бесконечность). Элемент — кусок такого контура. Для полного контура \(\operatorname{div}\mathbf{B}=0\) доказано; формула Био–Савара такова, что это верно и для каждого элемента в отдельности. Особенность в \(r=0\) интегрируема и не несёт «магнитного заряда» (поток через малую сферу вокруг элемента стремится к нулю).
Проверка. Прямое вычисление: \(\operatorname{div}([\mathbf{a}\times\mathbf{r}]/r^3)=\mathbf{a}\cdot\operatorname{rot}(\mathbf{r}/r^3)=0\) при \(r\neq0\). Поток через сферу вокруг начала: \(\mathrm{d}\mathbf{B}\) касательно к сфере (перпендикулярно \(\mathbf{r}\)), поток нуль. Всё сходится.
Ответ\(\operatorname{div}d\mathbf{B}=0\), поток через замкнутую поверхность нуль.