Плоская горизонтальная граница делит пространство на две части. В нижней части индукция равна нулю. Докажите, что однородное поле вблизи поверхности в верхней части направлено параллельно ей.
К задаче 9.4.5. Ниже границы \(B=0\); однородное поле сверху может быть только касательным.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Нормальная компонента \(\mathbf{B}\) всегда непрерывна: это следствие \(\operatorname{div}\mathbf{B}=0\). Снизу \(B=0\), значит у границы сверху \(B_n=0\) — поле чисто касательное, параллельно поверхности.
Возьмём плоскую «таблетку», пересекающую границу. Поток через неё равен нулю (\(\operatorname{div}\mathbf{B}=0\)). Высоту таблетки устремляем к нулю — потоки через бока исчезают, остаются две крышки:
Снизу индукция равна нулю, поэтому \(B_n^{\text{верх}}=0\). Однородное поле вблизи поверхности в верхней части не имеет нормальной составляющей — оно направлено параллельно поверхности.
Касательная компонента может иметь скачок — это поверхностный ток на границе (экран, сверхпроводник, токовый лист). На нормаль ток не влияет.
Проверка. Сверхпроводник вытесняет \(\mathbf{B}\) (эффект Мейсснера): снаружи поле скользит вдоль поверхности, именно \(B_n=0\). То же у идеального магнитного экрана. Если бы была нормальная компонента, линии упирались бы в границу и «пропадали» — магнитных зарядов нет.
Ответ\(B_n=0\) на границе \(\Rightarrow\) поле параллельно поверхности.