Савченко · Глава 9. Постоянное магнитное поле · § 9.4. Магнитный поток

Савченко, задача 9.4.6

Задача 9.4.6преломление B на токовой поверхности

Условие

Индукция \(\mathbf{B}\), переходя через плоскую поверхность, меняет угол наклона к ней с \(\alpha\) на \(\beta\). Во сколько раз изменится индукция? Чему равна линейная плотность тока на поверхности?

К задаче 9.4.6. Индукция меняет угол наклона к поверхности с \(\alpha\) на \(\beta\); на поверхности ток \(i\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея На любой поверхности непрерывна нормальная компонента \(B_n\), а скачок касательной равен \(\mu_0 i\). Угол к поверхности задаёт, какая доля \(B\) нормальна, какая касательна. Отсюда и отношение модулей, и ток.

Пусть угол наклона к поверхности: при \(\alpha=90^\circ\) поле нормально. Тогда \(B_n=B\sin\alpha\), \(B_\tau=B\cos\alpha\). Непрерывность нормали:

\[ B_1\sin\alpha=B_2\sin\beta\qquad\Longrightarrow\qquad n=\frac{B_2}{B_1}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}. \]

Скачок касательной: \(B_{1\tau}-B_{2\tau}=\mu_0 i\),

\[ i=\frac{B_1\cos\alpha-B_2\cos\beta}{\mu_0} =\frac{B_1}{\mu_0}\cos\alpha\Bigl(1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\beta\Bigr). \]

Здесь \(B\) в ответе — это \(B_1\), поле «до» поверхности.

Проверка. При \(\alpha=\beta\) поле не ломается, \(i=0\), \(n=1\). При \(\beta=90^\circ\) (за поверхностью поле нормально) \(i=B_1\cos\alpha/\mu_0\), \(n=\sin\alpha\). Если \(\alpha=0\) (поле скользило вдоль поверхности), \(B_n=0\), значит и за поверхностью \(B_n=0\), поле остаётся касательным, меняется только \(B_\tau\).

Ответ\(n=\sin\alpha/\sin\beta\); \(i=(B/\mu_0)\cos\alpha(1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\beta)\).

Следующая задача 9.4.7 →