Савченко · Глава 9. Постоянное магнитное поле · § 9.4. Магнитный поток

Савченко, задача 9.4.7

Задача 9.4.7два пересекающихся листа

Условие

Плоскости, пересекающиеся под углом \(\alpha\), делят пространство на четыре области. Поле в каждой области однородно. В областях 1 и 3 индукция параллельна плоскости симметрии \(AA'\), направлена в одну сторону и равна \(B_1\) и \(B_3\). Определите индукцию в областях 2 и 4.

К задаче 9.4.7. Плоскости пересекаются под углом \(\alpha\); в областях 1 и 3 поле вдоль биссектрисы \(AA'\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Две плоскости — токовые листы, делящие пространство на четыре клина. В каждом поле однородно. Непрерывность \(B_n\) на стенках и симметрия относительно биссектрисы \(AA'\) однозначно собирают \(B_2=B_4\) из \(B_1\) и \(B_3\).

В областях 1 и 3 поле параллельно плоскости симметрии \(AA'\) и направлено в одну сторону. Линии «преломляются» на стенках клина, но остаются прямыми (поле однородно). Сохранение потока через трубку: \(B_1 a_1=B_2 a_2\), где ширины трубок связаны углом \(\alpha\).

Векторно: на стыке нужно сложить «входящие» \(B_1\) и \(B_3\) так, чтобы результирующее поле в клине было однородно и удовлетворяло непрерывности нормалей на обеих стенках. Геометрия равнобедренного клина с углом \(\alpha\) даёт

\[ B_2=B_4=\frac{\sqrt{B_1^2+B_3^2+2B_1 B_3\cos\alpha}}{2\cos(\alpha/2)}. \]

Направление в областях 2 и 4 — вдоль их биссектрис (по симметрии).

Проверка. При \(B_1=B_3=B\) и \(\alpha=90^\circ\): \(B_2=B\sqrt{2}/(2\cdot\sqrt{2}/2)=B\). Крест из двух ортогональных листов с одинаковым продольным полем не усиливает боковые области. При \(\alpha\to0\) (плоскости сливаются) \(B_2\to B_1\) (если \(B_1=B_3\)). При \(B_3=B_1\) и \(\alpha=0\) знаменатель \(2\cos0=2\), числитель \(2B\), отношение \(B\).

Ответ\(B_2=B_4=\sqrt{B_1^2+B_3^2+2B_1 B_3\cos\alpha}\,/\,[2\cos(\alpha/2)]\).

Следующая задача 9.4.8 →