а. Составляющая аксиально-симметричного поля вдоль оси линейно зависит от \(x\): \(B_x=B_0 x/x_0\). Определите зависимость радиальной составляющей от расстояния до оси. Как зависит угол наклона поля к оси от \(x\) и \(r\)? Нарисуйте линии индукции.
б. Пусть \(B_x=B_0(x/x_0)^n\). Найдите \(B_r\). Как найти \(B_r\) в общем случае \(B_x=B_0 f(x)\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Осевая симметрия, нет \(\varphi\)-компоненты. Возьмём цилиндр радиуса \(r\) с осью на оси поля, между сечениями \(x\) и \(x+\Delta x\). Полный поток через его замкнутую поверхность нулевой: через торцы выходит \([B_x(x+\Delta x)-B_x(x)]\,\pi r^2=\Delta B_x\cdot\pi r^2\), через боковую поверхность — \(B_r\cdot2\pi r\,\Delta x\). Значит
\[ B_r\cdot2\pi r\,\Delta x=-\pi r^2\,\Delta B_x\qquad\Longrightarrow\qquad B_r=-\frac r2\cdot\frac{\Delta B_x}{\Delta x}. \]а. \(B_x=B_0 x/x_0\) растёт равномерно: \(\Delta B_x/\Delta x=B_0/x_0\). Тогда при любом \(x\)
\[ B_r=-\frac{B_0 r}{2x_0}. \]Угол наклона линий к оси: \(\operatorname{tg}\alpha=B_r/B_x=r/(2x)\) (знак — линии сходятся или расходятся в зависимости от знака \(B_0/x_0\)). Линии — параболы \(x=Cr^2\).
б. \(B_x=B_0(x/x_0)^n\): быстрота роста поля вдоль оси \(\Delta B_x/\Delta x=n B_0 x^{n-1}/x_0^n\) (производная степенной функции),
\[ B_r=-\frac12 n B_0 r\frac{(x/x_0)^{n-1}}{x_0}. \]В общем случае \(B_x=B_0 f(x)\) в ту же формулу входит производная \(f'(x)\) — быстрота изменения \(f\):
\[ B_r=-\frac12 r B_0 f'(x). \]