а. Определите магнитный поток через боковую поверхность полубесконечного цилиндра, по которому циркулирует поперечный ток плотности \(i\). Радиус \(R\).
б. С какой силой притягиваются половинки длинного соленоида с током \(I\)? Радиус \(R\), число витков на единицу длины \(n\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Полубесконечный цилиндр с поперечным током \(i\). Вдали внутри \(B=\mu_0 i\), поток через сечение \(\Phi_\infty=\mu_0 i\cdot\pi R^2\). На торце \(B_\parallel=\mu_0 i/2\) (задача 9.3.10), поток через торец \(\Phi_{\text{торц}}=\mu_0 i\pi R^2/2\). Разность уходит через боковую поверхность:
\[ \Phi_{\text{бок}}=\Phi_\infty-\Phi_{\text{торц}}=\frac{\mu_0 i\pi R^2}{2}. \]Это и есть искомый поток через бок.
б. Длинный соленоид с током \(I\), \(n\) витков на единицу длины, \(i=nI\), поле внутри \(B=\mu_0 nI\). Разрежем пополам плоскостью через ось. На площадку разреза давит магнитное давление \(B^2/(2\mu_0)\). Сила притяжения половинок — это давление, умноженное на площадь диаметрального сечения \(2R\cdot L\), но на единицу длины... Для конечных «половинок» как двух полуцилиндров длина \(L\to\infty\), сила на всю длину бесконечна. Имеется в виду сила, с которой притягиваются две половины, разрезанные поперёк (два полубесконечных соленоида торец к торцу):
\[ F=\frac{B^2}{2\mu_0}\cdot\pi R^2=\frac{\mu_0\pi(nIR)^2}{2}. \]Да: поток через торец \(\Phi=B\pi R^2/2\) у каждого, энергия взаимодействия даёт ту же силу.