Сложность 1–10 — наша примерная оценка: 1–2 — одна формула, 3–4 — несколько шагов по стандартной схеме, 5–6 — нужна идея, известная олимпиаднику, 7–8 — нестандартная идея или длинное решение, 9–10 — самые трудные задачи финалов.
Канат вокруг Земли
Представьте ситуацию. Вы опоясали Землю канатом, затем увеличили длину на \(1\) м и вновь опоясали Землю. Определите величину зазора между поверхностью Земли и канатом во второй ситуации. Ответ дайте с точностью до сотых метра.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(0{,}16\) м.
Робот собирает предметы
Робот запрограммирован так, что он подбирает предметы, расположенные точно под ним. Робот может совершать два движения — двигаться по прямой и поворачивать на любой угол в любом направлении на месте. На полу лежат 9 точечных предметов — три ряда по три предмета; расстояние между предметами в каждом ряду — 1 м, расстояние между рядами — 1 м (см. рисунок). Может ли робот собрать все девять предметов, совершив ровно три поворота, и если да, то какое минимальное расстояние он пройдет? Робот может стартовать из любой точки (в том числе и той, где находится один из предметов).
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветМожет; минимальное расстояние \(l = 5(1+\sqrt2) \approx 12{,}1\) м.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеТребуемая траектория движения робота показана на рисунке. Начало отмечено буквой «н», конец — буквой «к» (конечно, можно было бы проходить весь путь в обратном направлении, тогда начало и конец пути просто поменялись бы местами). Вычисляя длину пути, получим \[l = 5\left(1+\sqrt2\right) = 12{,}1\text{ м}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Мезолябия Эратосфена
В 3 веке до н.э. греческий инженер Эратосфен придумал мезолябию — прибор, позволяющий извлекать кубические корни. Мезолябия состоит из двух направляющих, по которым могут перемещаться три одинаковых прямоугольных треугольника. Треугольники располагают так, что вершина прямого угла треугольника 2 совпадает с вершиной острого угла треугольника 1, а вершина треугольника 1 и точки пересечения треугольников 2 и 3 (перевёрнутого) лежат на одной прямой (эти точки отмечены кружками). Длине какого отрезка равен кубический корень из расстояния между направляющими? В каких единицах измерения?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПостройте отрезок, перпендикулярный направляющим, и найдите в чертеже несколько серий подобных треугольников: их отношения сцепляют длины отрезков в цепочку.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветКубический корень из расстояния между направляющими равен длине отрезка \(EF\), если в качестве единицы длины взять отрезок \(GH\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПостроим вспомогательный отрезок \(GH\), перпендикулярный направляющим. Благодаря параллельности отрезков \(AD\), \(BC\), \(EF\) и \(GH\) в мезолябии есть ряд подобных треугольников: \(ACD\), \(BFC\) и \(EHF\), а также \(ABC\), \(BEF\) и \(EGH\).
Из подобия треугольников \(ACD\), \(BFC\), \(EHF\): \[\frac{AD}{BC}=\frac{DC}{CF}, \qquad \frac{BC}{CF}=\frac{EF}{FH}.\] Из подобия треугольников \(ABC\), \(BEF\), \(EGH\) (отрезки \(DC\), \(CF\), \(FH\) — их высоты): \[\frac{BC}{EF}=\frac{DC}{CF}, \qquad \frac{EF}{GH}=\frac{CF}{FH}.\] Отсюда \[\frac{AD}{BC}=\frac{BC}{EF}=\frac{EF}{GH},\] и далее \(AD=\dfrac{BC^2}{EF}\), \(BC=\dfrac{EF^2}{GH}\), откуда \[\sqrt[3]{\frac{AD}{GH}}=\frac{EF}{GH}.\] Это равенство означает, что кубический корень из длины отрезка \(AD\), измеренного в единицах \(GH\), равен длине отрезка \(EF\), измеренного в единицах \(GH\). Таким образом, кубический корень из расстояния между направляющими равен длине отрезка \(EF\) при условии, что единицей длины служит отрезок \(GH\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.