Мезолябия Эратосфена

Постройте отрезок, перпендикулярный направляющим, и найдите в чертеже несколько серий подобных треугольников: их отношения сцепляют длины отрезков в цепочку.

Построим вспомогательный отрезок \(GH\), перпендикулярный направляющим. Благодаря параллельности отрезков \(AD\), \(BC\), \(EF\) и \(GH\) в мезолябии есть ряд подобных треугольников: \(ACD\), \(BFC\) и \(EHF\), а также \(ABC\), \(BEF\) и \(EGH\).

Из подобия треугольников \(ACD\), \(BFC\), \(EHF\): \[\frac{AD}{BC}=\frac{DC}{CF}, \qquad \frac{BC}{CF}=\frac{EF}{FH}.\] Из подобия треугольников \(ABC\), \(BEF\), \(EGH\) (отрезки \(DC\), \(CF\), \(FH\) — их высоты): \[\frac{BC}{EF}=\frac{DC}{CF}, \qquad \frac{EF}{GH}=\frac{CF}{FH}.\] Отсюда \[\frac{AD}{BC}=\frac{BC}{EF}=\frac{EF}{GH},\] и далее \(AD=\dfrac{BC^2}{EF}\), \(BC=\dfrac{EF^2}{GH}\), откуда \[\sqrt[3]{\frac{AD}{GH}}=\frac{EF}{GH}.\] Это равенство означает, что кубический корень из длины отрезка \(AD\), измеренного в единицах \(GH\), равен длине отрезка \(EF\), измеренного в единицах \(GH\). Таким образом, кубический корень из расстояния между направляющими равен длине отрезка \(EF\) при условии, что единицей длины служит отрезок \(GH\).