Линейка в коридоре

Видимая длина обратно пропорциональна расстоянию до предмета: расстояния до изображений относятся как \(10:7{,}5:3{,}75\) к расстоянию до самого предмета. Положения изображений в зеркалах известны, дальше — теорема Пифагора.

\(BM=\dfrac{980}{19}\text{ см}\approx 51{,}6\) см от правого зеркала.

Сделаем рисунок для лучшего понимания отражений и расстояний. Пусть положение человека — \(A\), а положение объекта — \(O\). Первое отражение (изображение) объекта в правом зеркале — \(P\). Второе отражение объекта в правом зеркале образует изображение объекта в левом зеркале. Пусть изображение в левом зеркале — \(V\), а его изображение в правом зеркале — \(V'\). Обозначим ещё две точки на прямой, соединяющей изображения: точку \(B\) — проекцию положения человека и точку \(M\) — пересечение с правым зеркалом.

Когда мы смотрим с помощью линейки на объект или на его отражение, возникают подобные треугольники (см. рисунок). Видимая длина объекта на расстоянии линейки, умноженная на расстояние от наблюдателя до объекта, равна произведению действительной длины объекта и расстояния до линейки. Такой же величине равно и произведение расстояния до каждого из отражений на видимую длину соответствующего отражения на расстоянии линейки, так как действительные длины отражений такие же, как действительная длина объекта.

На рисунке: näiv pikkus — видимая длина; objekt või selle kujutis — объект или его изображение.

Зная отношения видимых длин, мы теперь можем найти отношения расстояний. Расстояние от наблюдателя до первого отражения \[AP=\frac{10\text{ см}}{7{,}5\text{ см}}\cdot AO=\frac43AO,\] а до второго отражения \[AV'=\frac{10\text{ см}}{3{,}75\text{ см}}\cdot AO=\frac83AO.\] Из свойств отражения мы знаем ещё следующие длины: \(OP=60\) см и \(OV'=200\) см. Теперь мы превратили физическую ситуацию в тригонометрическую задачу, в которой искомая величина — \(BM\).

Один из способов решения — использовать теорему Пифагора для треугольников \(\triangle ABO\), \(\triangle ABP\) и \(\triangle ABV'\). Отсюда получаем три уравнения: \[\begin{align*} AO^2&=AB^2+BO^2,\\ AP^2&=AB^2+(BO+OP)^2,\\ AV'^2&=AB^2+(BO+OV')^2. \end{align*}\] Используя отношения расстояний, получаем \[\begin{align*} \frac{16}{9}(AB^2+BO^2)&=AB^2+BO^2+2\cdot BO\cdot OP+OP^2,\\ \frac{64}{9}(AB^2+BO^2)&=AB^2+BO^2+2\cdot BO\cdot OV'+OV'^2. \end{align*}\] Исключая \((AB^2+BO^2)\), получаем \[7\cdot(2\cdot BO\cdot OV'+OV'^2)=55\cdot(2\cdot BO\cdot OP+OP^2),\] откуда \[BO=\frac{55\cdot OP^2-7\cdot OV'^2}{14\cdot OV'-110\cdot OP}=\frac{410}{19}\text{ см}\approx 21{,}6\text{ см}.\] Следовательно, расстояние человека от правого зеркала \[BM=BO+OM=30\text{ см}+\frac{410}{19}\text{ см}=\frac{980}{19}\text{ см}\approx 51{,}58\text{ см}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.