Горка

Санки с седоком — брусок на наклонной плоскости: найдите ускорение торможения вдоль склона и длину пути по склону, а затем потребуйте, чтобы к концу склона скорость упала как раз до нуля.

\(v_0\approx 3{,}8\) м/с.

Будем считать Костю, спускающегося с горки на санках, бруском на наклонной плоскости (см. рисунок). На него действует сила тяжести \(F_\text{т}=mg\), составляющая которой вдоль склона равна \(mg\sin\alpha\), а составляющая по нормали к склону — \(mg\cos\alpha\). Составляющая по нормали равна силе реакции опоры, то есть \(N=mg\cos\alpha\). Сила трения скольжения, действующая на санки, пропорциональна силе реакции опоры и коэффициенту трения: \(F_\text{тр}=\mu N=\mu mg\cos\alpha\). Следовательно, сила, тормозящая Костю на склоне, равна \(F_\text{торм}=mg(\mu\cos\alpha-\sin\alpha)\), откуда ускорение \(a=F_\text{торм}/m=g(\mu\cos\alpha-\sin\alpha)\).

Для описания равноускоренного движения справедлива формула \(s=(v^2-v_0^2)/2a\), где \(s\) — перемещение, \(v\) — конечная скорость тела, \(v_0\) — его начальная скорость, \(a\) — ускорение, действующее на тело. В предельном случае Костя, дойдя до конца склона, останавливается, то есть \(v=0\), ускорение равно \(a=-g(\mu\cos\alpha-\sin\alpha)\) (со знаком минус, так как ускорение направлено противоположно движению тела), а перемещение найдём из тригонометрии: \(s=h/\sin\alpha\). Следовательно, \[\frac{h}{\sin\alpha}=\frac{-v_0^2}{-2g(\mu\cos\alpha-\sin\alpha)}.\] Откуда \[v_0=\sqrt{\frac{2hg(\mu\cos\alpha-\sin\alpha)}{\sin\alpha}} =\sqrt{\frac{2\cdot 6\text{ м}\cdot 9{,}8\text{ м/с}^2\cdot(0{,}3\cos15^\circ-\sin15^\circ)}{\sin15^\circ}}=3{,}8\text{ м/с}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.