Треугольник

Тонкая линза переводит прямую в прямую, а лучи, идущие под одним углом к оси, сходятся в точке фокальной плоскости. Выясните, куда должны попасть вершины, чтобы углы \(30^\circ\) и \(60^\circ\) поменялись местами.

Длина гипотенузы равна \(\dfrac{8f}{3}\).

Решение 1. Во-первых, заметим, что в тонкой линзе прямая отображается в прямую, причём эти прямые пересекаются в плоскости линзы. Это становится очевидным, если подумать об этих прямых как о световых лучах.

Во-вторых, заметим, что угол \(30^\circ\) должен отобразиться в угол \(60^\circ\) и наоборот. Действительно, если бы угол \(30^\circ\) отобразился в угол \(30^\circ\), а угол \(60^\circ\) — в угол \(60^\circ\), то в силу первого наблюдения треугольник и его изображение должны были бы быть зеркально симметричны относительно плоскости линзы, что противоречит ряду свойств тонкой линзы, в том числе формуле линзы.

В-третьих, заметим, что на оптической оси справа от линзы есть только одна точка, из которой луч, выходящий под углом \(30^\circ\) к оси, преломляется в луч с углом наклона \(30^\circ\). Действительно, легко видеть, что для некоторой точки оси \(X\), расстояние от которой до линзы больше фокусного расстояния \(f\), угол наклона выходящего под углом \(30^\circ\) луча после преломления в линзе является монотонной функцией расстояния от точки \(X\) до фокальной плоскости.

В силу третьего наблюдения у задачи есть только одно решение, и в силу симметрии треугольник и его изображение должны быть точно одинакового размера и на одинаковом расстоянии от линзы. Поэтому прямой угол исходного треугольника и прямой угол треугольника-изображения должны находиться на равных расстояниях от линзы; из формулы линзы легко заключить, что это расстояние равно \(2f\). Формула Ньютона для линзы гласит, что если \(x_1\) и \(x_2\) — расстояния предмета и изображения от своей фокальной плоскости, то \(x_1x_2=f^2\). Пусть \(K\) — проекция прямого угла \(C\) прямоугольного треугольника на гипотенузу (см. рисунок) и пусть высота треугольника \(|CK|=\sqrt3\,h\); в таком случае проекции катетов на гипотенузу \(|AK|=|CK|\,\mathrm{tg}\,30^\circ=h\) и \(|KB|=|CK|\,\mathrm{tg}\,60^\circ=3h\). В силу симметрии изображение \(B'\) точки \(B\) находится от фокальной плоскости на таком же расстоянии, как угол \(A\), поэтому формула Ньютона для точки \(B\) принимает вид \((f-|AK|)(f+|KB|)=(f-h)(f+3h)=f^2\), откуда \(h=2f/3\) (решение \(h=0\) не является физическим). Теперь легко найти длину гипотенузы \(|AK|+|KB|=4h=8f/3\).

Решение 2. Сделаем первые два наблюдения, как в решении 1. Проведём через центр линзы две прямые, идущие соответственно под углами \(30^\circ\) и \(60^\circ\), как показано на рисунке. Пусть точки пересечения этих прямых с фокальными плоскостями — соответственно \(J\) и \(H\). Легко видеть, что \(|JF|=f\,\mathrm{tg}\,60^\circ=\sqrt3 f\) и \(|HG|=f\,\mathrm{tg}\,30^\circ=f/\sqrt3\). Лучи, идущие слева от линзы под углом \(60^\circ\), после преломления в линзе должны проходить через точку \(J\); это должен делать и луч, идущий вдоль катета изображения \(C'B'\), который до преломления образует с оптической осью угол \(60^\circ\), а после преломления в линзе — угол \(30^\circ\), и идти вдоль катета \(CB\). Из прямоугольного треугольника \(JFB\) получаем \(|FB|=|JF|\,\mathrm{tg}\,60^\circ=3f\), а из прямоугольного треугольника \(B'HG\) получаем \(|B'G|=|HG|\,\mathrm{tg}\,30^\circ=f/3\). В силу симметрии \(|FA|=|B'G|=f/3\), благодаря чему гипотенуза треугольника \(|AB|=|FB|-|FA|=3f-f/3=\frac83 f\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.