Конденсатор в жидкости

Жидкость втягивается до тех пор, пока минимум полной энергии (поле, источник напряжения и сила тяжести) не достигнут: приравняйте нулю производную энергии по высоте уровня \(h\). Учтите работу источника.

\(h=\dfrac{\varepsilon_0(\varepsilon-1)V^2}{2\rho g d^2}\).

Решение 1. Предположим, что у конденсатора прямоугольные пластины шириной \(L\) и высотой \(H\) (результат не зависит от формы конденсатора, но в таком случае решение проще). Части конденсатора, заполненные жидкостью и воздухом, можно рассматривать как параллельно соединённые конденсаторы. Пусть уровень жидкости внутри конденсатора равен \(h\). Ёмкости тогда равны: \[C_1=\frac{\varepsilon_0L(H-h)}{d},\qquad C_2=\frac{\varepsilon_0\varepsilon Lh}{d}.\] Электростатическая потенциальная энергия конденсатора в таком случае равна \[E=E_1+E_2=\frac{C_1V^2}{2}+\frac{C_2V^2}{2}=\frac{\varepsilon_0LHV^2}{2d}+\frac{\varepsilon_0L(\varepsilon-1)V^2}{2d}\,h=\frac{VQ}{2},\] где \(Q\) — заряд пластин конденсатора. Далее рассмотрим суммарную потенциальную энергию \(E_\text{пот}\) системы из конденсатора и источника напряжения в зависимости от высоты уровня воды. Так как система переходит в состояние с наименьшей потенциальной энергией, то в положении равновесия выполняется \(dE_\text{пот}/dh=0\). В потенциальную энергию вносят вклад гравитационная потенциальная энергия воды \(mgh/2=\rho Lh^2g/2\), электростатическая потенциальная энергия конденсатора \(E\) и, наконец, потенциальная энергия источника напряжения. Для вычисления потенциальной энергии источника напряжения безопаснее всего представить источник как конденсатор очень большой ёмкости \(C_\infty\), так что изменение потенциальной энергии источника напряжения было бы \(d(C_\infty V^2/2)=d(q^2/(2C_\infty))=q\,dq/C_\infty=V\,dq\), где \(C_\infty\) — ёмкость источника напряжения, а \(dq\) — заряд, поступающий в источник напряжения (иными словами, заряд, поступающий в конденсатор, с отрицательным знаком). Следовательно, потенциальная энергия источника напряжения выражается через напряжение на конденсаторе как \(-VQ\). (Как вариант, мы могли бы прямо написать \(-VQ\), воспользовавшись тем, что работа электрического поля равна \(VQ\), что можно интерпретировать как отрицательное изменение потенциальной энергии источников электрического поля.) В итоге потенциальная энергия равна \[E_\text{пот}=\frac{\rho Ldgh^2}{2}+\frac{VQ}{2}-VQ=\frac{\rho Ldgh^2}{2}-\frac{\varepsilon_0LHV^2}{2d}-\frac{\varepsilon_0L(\varepsilon-1)V^2}{2d}\,h.\] Так как система переходит в состояние с наименьшей энергией: \[\frac{dE_\text{пот}}{dh}=-\frac{\varepsilon_0L(\varepsilon-1)V^2}{2d}+\rho Ldgh=0.\] Откуда \[h=\frac{\varepsilon_0(\varepsilon-1)V^2}{2\rho gd^2}.\] Как и ожидалось, величины, описывающие ширину и высоту пластин конденсатора, сократились.

Решение 2. Как и в предыдущем решении, для простоты предположим, что пластины конденсатора прямоугольные шириной (в горизонтальном направлении) \(L\). Заполненная жидкостью и заполненная воздухом части конденсатора соединены параллельно, поэтому их ёмкости складываются. Пусть высота заполненной жидкостью части конденсатора равна \(a\), а заполненной воздухом — \(b\). В таком случае общая ёмкость \(C=C_1+C_2=\frac{\varepsilon_0L}{d}(\varepsilon a+b)\). Рассмотрим ситуацию, в которой конденсатор отключён от источника питания, и поэтому источник питания не может совершать работу. В таком случае система принимает состояние с наименьшей потенциальной энергией, где суммарная энергия состоит из электростатической части \(Q^2/2C\) и гравитационной части \(\frac12\rho gh^2Ld\), где \(Q=VC\) сохраняется, так как пластины изолированы и заряд не может с них никуда уйти. Итак, наше условие \[0=\frac{d}{dh}\left(\frac12\rho gh^2Ld+\frac12\frac{Q^2}{C}\right)=\rho ghLd-\frac12\frac{Q^2}{C^2}\frac{dC}{dh}.\] При этом \[\frac{dC}{dh}=\frac{\varepsilon_0L}{d}(\varepsilon-1),\] так как \(\frac{da}{dh}=1\) и \(\frac{db}{dh}=-1\). Теперь остаётся только выразить \(h\), подставив \(Q/C=V\); в итоге получается приведённый выше ответ.

Решение 3. Пока расстояние от уровня жидкости между пластинами до верхнего края пластин намного больше \(d\), краевые эффекты на краях пластин ничтожны. Но в некотором смысле уровень поднимается именно из-за краевых эффектов. Плотность силы равна производной электрического поля в направлении вектора поляризации, то есть \((\vec P\cdot\nabla)\vec E\), а у нижнего края пластин электрическое поле из-за краевого эффекта неоднородно, что и даёт подъёмную силу.

Мы знаем, что \(\nabla\times\vec E=0\), поэтому \[0=\vec E\times(\nabla\times\vec E)=\frac12\nabla E^2-(\vec E\times\nabla)\vec E,\] поэтому сила на единицу объёма равна \[(\vec P\cdot\nabla)\vec E-\nabla p=(\varepsilon-1)\varepsilon_0(\vec E\cdot\nabla)\vec E-\nabla p=\nabla\left[\frac12(\varepsilon-1)\varepsilon_0E^2-p\right].\] В равновесии всё это равно нулю, то есть \(\frac12(\varepsilon-1)\varepsilon_0E^2-p=\text{const}\). Вне пространства между пластинами \(E=0\), поэтому внутри давление равно \(\frac12(\varepsilon-1)\varepsilon_0E^2\), где \(E=V/d\), что и поднимает уровень на \(\frac12(\varepsilon-1)\varepsilon_0V^2/\rho gd^2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.