Охлаждение

Скорость остывания пропорциональна \(S\Delta T/V\). Налитые объёмы — подобные конусы: площадь поверхности растёт как квадрат высоты, объём — как куб, а объём после доливки вдвое больше.

\(T_\text{air}\approx 17\,^\circ\)C.

Жидкость за время \(t\), охлаждаясь, теряет количество теплоты \(Q\), пропорциональное площади охлаждаемой поверхности \(S\) и разности температур \(\Delta T\): \(Q=\alpha tS\Delta T\). Так как мы предполагаем, что плотность и удельная теплоёмкость не зависят от температуры, то скорость понижения температуры жидкости \(\dot T\) пропорциональна теряемому в единицу времени количеству теплоты и обратно пропорциональна объёму жидкости \(V\): \[\dot T\propto\frac{Q}{Vt}\propto\frac{S\Delta T}{V}.\] Найдём температуру более тёплой смешанной жидкости \(T_\text{смеси}\) после наступления теплового равновесия. Так как смешивают равные количества жидкостей, выполняется \(T_\text{смеси}-T=T_\text{add}-T_\text{смеси}\), откуда \[T_\text{смеси}=\frac{T+T_\text{add}}{2}=\frac{40\,^\circ\text{C}+88\,^\circ\text{C}}{2}=64\,^\circ\text{C}.\] Заполненные жидкостью части двух термосов представляют собой подобные конусы. Следовательно, их заполненные объёмы пропорциональны кубу высоты, а площади поверхности — квадрату высоты. Следовательно, \(S_2/S_1=h_2^2/h_1^2\) и \(V_2/V_1=h_2^3/h_1^3\), откуда \[\frac{S_2}{S_1}=\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{2/3}=\sqrt[3]{4}.\] Отношение скоростей охлаждения жидкостей \[k=\frac{\dot T_2}{\dot T_1}=\frac{S_2}{S_1}\,\frac{V_1}{V_2}\,\frac{T_\text{смеси}-T_\text{air}}{T-T_\text{air}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\,\frac{T_\text{смеси}-T_\text{air}}{T-T_\text{air}}.\] Откуда \[T_\text{air}=\frac{kT-T_\text{смеси}\sqrt[3]{2}^{\,-1}}{k-\sqrt[3]{2}^{\,-1}}=\frac{1{,}62\cdot 40\,^\circ\text{C}-\dfrac{64\,^\circ\text{C}}{\sqrt[3]{2}}}{1{,}62-\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}}=17\,^\circ\text{C}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.