Туман

Найдите по плотностям долю молекул воды во влажном воздухе. При охлаждении давление насыщенного пара ограничивает долю пара; избыток переходит в капли, масса воздуха с каплями остаётся прежней, а объём меняется только из-за ухода пара из газовой фазы.

\(\rho''\approx 1254\) г/м\(^3\).

Из уравнения состояния идеального газа в виде \(p=\frac{\rho}{\mu}RT\) получаем равенство \(\rho_k/\mu_a=\rho/\mu\), где средняя молярная масса влажного воздуха \(\mu=(1-r)\mu_a+r\mu_v\), а \(r\) обозначает долю молекул воды от общего числа молекул. Из этого равенства получаем \[r=\frac{\mu_a}{\rho_k}\,\frac{\rho_k-\rho}{\mu_a-\mu_v}\approx 0{,}030.\] Число молей в единице объёма удобнее всего узнать по данным для сухого воздуха: при температуре \(T_1\) оно равно \(n_0=\rho_k/\mu_a\), а следовательно, при температуре \(T_2\) — \(n=\rho_kT_1/\mu_aT_2\). Следовательно, если бы перенасыщенный пар не конденсировался в капли, то плотность водяного пара была бы \[\rho_v'=nr\mu_v=\rho_kr\,\frac{\mu_v}{\mu_a}\,\frac{T_1}{T_2}\approx 23{,}4\ \frac{\text{г}}{\text{м}^3}.\] Так как она больше \(\rho_m\), то часть водяного пара конденсируется; обозначая новое значение доли молекул воды через \(r'\), получаем соотношение \(\rho_m=nr'\mu_v\), и, сравнивая его с выражением для \(\rho_v'\), видим, что \[r'=r\,\frac{\rho_m}{\rho_v'}\approx 0{,}012.\] Рассмотрим некоторое количество молекул сухого воздуха (т.е. всех остальных молекул в воздухе, кроме молекул воды, далее просто «молекулы воздуха»), которые до конденсации занимают объём \(V\), а после конденсации — объём \(V'\). Так как количество молекул воздуха до и после конденсации одинаково, то \((1-r)nV=(1-r')nV'\), откуда \(V/V'=\frac{1-r'}{1-r}\); при этом мы воспользовались тем, что в силу уравнения состояния идеального газа при конденсации, происходящей при постоянной температуре, число молей в единице объёма остаётся неизменным. Так как молекулы воды не исчезли, а лишь часть из них перешла в капли, то суммарное отношение числа молекул воды и сухого воздуха не изменилось, то есть в новом объёме \(V'\) молекул воды столько же, сколько было в объёме \(V\). Поэтому в этих объёмах равны и полные массы, и для плотности воздуха с туманом получаем \(\rho''=\rho'\,\frac{1-r'}{1-r}\), где \(\rho'=\rho T_1/T_2\) обозначает плотность влажного охлаждённого воздуха до конденсации. Итак, \[\rho''=\rho\,\frac{T_1}{T_2}\,\frac{1-r'}{1-r}\approx 1254{,}3\ \frac{\text{г}}{\text{м}^3}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.