Бильярд

Вдоль края скорость шара не меняется, так как сила действует только перпендикулярно краю; по равенству касательных составляющих найдите отношение скоростей, а силу — из изменения импульса.

a) около \(33\,\%\);  b) \(F_p\approx 22{,}3\) Н.

a) Пусть скорость бильярдного шара до отскока равна \(v_0\), а после отскока — \(v_1\). Пусть ось \(x\) параллельна краю, а ось \(y\) перпендикулярна ему. Так как край действует на шар только в направлении \(y\), то составляющая скорости шара вдоль оси \(x\) при отскоке не изменяется. Следовательно, \[v_x=v_0\sin45^\circ=v_1\sin60^\circ\ \Longrightarrow\ \frac{v_1}{v_0}=\frac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ}.\] Так как кинетическая энергия шара равна \(E=\frac12 mv^2\), то \[\frac{E_1}{E_0}=\frac{\frac12 mv_1^2}{\frac12 mv_0^2}=\frac{v_1^2}{v_0^2}=\frac{\sin^2 45^\circ}{\sin^2 60^\circ}=\left(\frac{\sqrt2/2}{\sqrt3/2}\right)^2=\frac23,\] следовательно, при отскоке потерялось около \(33\,\%\) энергии шара.

b) Из второго закона Ньютона \[F=ma=m\frac{\Delta v}{\Delta t}\ \Longrightarrow\ F\Delta t=m\Delta v.\] Так как сила действовала на шар только в направлении \(y\), то \[F_pt_p=m\,(v_{1,y}-v_{0,y})\] (где мы считаем \(v_y\) положительной, если скорость направлена от стола). Мы знаем, что \[v_{0,y}=-v_0\cos45^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}v_0,\qquad v_{1,y}=v_1\cos60^\circ=\sqrt{\frac23}\,v_0\cos60^\circ=\frac{\sqrt2}{2\sqrt3}v_0,\] следовательно, \[\Delta v_y=v_{1,y}-v_{0,y}=\left(\frac{\sqrt2}{2\sqrt3}+\frac{\sqrt2}{2}\right)v_0\approx 1{,}115\text{ м/с}.\] Средняя сила, действовавшая на шар, равна \[F_p=\frac{m\Delta v_y}{t_p}=\frac{0{,}2\text{ кг}\cdot 1{,}115\text{ м/с}}{0{,}01\text{ с}}=22{,}3\text{ Н}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.