Ромб

На верхний стержень действуют только две силы, приложенные по концам, поэтому они направлены вдоль него; значит, на нижний стержень действуют три силы, линии действия которых пересекаются в одной точке.

\(r=2l\sin^2\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha\).

Решение 1. Рассмотрим равновесие правого нижнего стержня, см. рисунок. На него действуют три силы. Во-первых, в шарнирном креплении \(B\) приложена сила со стороны левого стержня, которая из-за симметрии горизонтальна. Так как на верхний стержень действуют лишь две силы (одна на одном конце, а другая на другом), то они обе должны быть направлены вдоль стержня (иначе не могло бы выполняться условие равновесия моментов сил, действующих на верхний стержень). Следовательно, на нижний стержень в верхнем шарнирном креплении действует сила, направленная вдоль прямой \(AC\). Кроме этого, на нижний стержень действует ещё в точке опоры цилиндра \(D\) сила нормальной реакции, направленная перпендикулярно стержню.

Поскольку стержни можно считать невесомыми, то действующую на стержни силу тяжести можно не учитывать. Если к твёрдому телу приложены только три силы, то они должны пересекаться в одной точке, иначе не было бы выполнено условие равновесия моментов сил, действующих на это тело. Поэтому продолжение силы, приложенной в точке \(D\), должно проходить через точку \(C\). Легко видеть, что \(BC=2l\sin\alpha\), поэтому \(OB=BC\,\mathrm{tg}\,\alpha=2l\sin\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha\) и \(r=OD=OB\sin\alpha=2l\sin^2\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha\).

Решение 2. Цилиндр действует на стержень в точке \(D\) с силой нормальной реакции \(N\). Кроме того, на нижний стержень в верхнем шарнирном креплении действует сила \(T\) в направлении верхнего стержня. Можно записать равенство моментов сил относительно точки \(B\): \(N\cdot|BD|=Tl\sin2\alpha\). Равновесие сил для цилиндра: \(2N\sin\alpha=mg\). Равновесие сил для точки \(A\): \(2T\cos\alpha=mg\). Решая эти три уравнения, получаем \(|BD|=2l\sin^2\alpha\) и \(r=|BD|\,\mathrm{tg}\,\alpha=2l\sin^2\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha\).

Решение 3. Воспользуемся принципом минимума потенциальной энергии: цилиндр устойчиво находится в равновесии, если его центр масс находится в самом низком из возможных положений. Пусть высота потолка равна \(2l\). Центр цилиндра находится на высоте \[h(\alpha)=2l-2l\cos\alpha+\frac{r}{\sin\alpha}.\] Её производная \[h'(\alpha)=2l\sin\alpha-\frac{r\cos\alpha}{\sin^2\alpha}.\] Из условия \(h'(\alpha)=0\) находим \[r=2l\,\frac{\sin^3\alpha}{\cos\alpha}=2l\sin^2\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.