Фрикционная передача на двух конусах

Сечение равных скоростей — то место, где трение разгоняет и тормозит ведущий конус в равной мере по моменту. Запишите момент силы трения для тонкого слоя конуса на расстоянии \(x\) от вершины и приравняйте сумму к \(M\).

За счёт силы трения ведущий конус разгонит ведомый до некоторой угловой скорости; в стационарном режиме угловые скорости обоих конусов постоянны. Линейные скорости точек поверхности конусов разные, поэтому в одних точках ведущий конус опережает ведомый (трение тормозит ведущий), в других — отстаёт (трение разгоняет ведущий). Суммарный момент трения должен уравновешивать внешний момент \(M\).

Пусть сечение равных скоростей находится на расстоянии \(h_0\) от вершины ведущего конуса. Тонкий слой конуса толщиной \(\Delta x\) на расстоянии \(x\) от вершины испытывает силу трения \(\Delta F_{\text{тр}}=\mu N\dfrac{\Delta x}{h}\) и создаёт относительно оси момент \(\Delta M_{\text{тр}}=\mu N\dfrac{\Delta x}{h}\,r\), где радиус слоя \(r=x\operatorname{tg}\alpha\). Поэтому \[\Delta M_{\text{тр}}=\frac{\mu N\operatorname{tg}\alpha}{h}\,x\,\Delta x.\] Суммы тормозящих моментов (слои между основанием и сечением равных скоростей, \(x\) от \(h_0\) до \(h\)) и разгоняющих (слои между сечением и вершиной, \(x\) от \(0\) до \(h_0\)) вычисляются как площади под графиком \(f(x)=x\). Их разность даёт суммарный момент трения ведомого конуса на ведущий: \[M_{\text{тр}}=\frac{\mu N\operatorname{tg}\alpha}{2h}\left(h^2-h_0^2\right)-\frac{\mu N\operatorname{tg}\alpha}{2h}\,h_0^2=\frac{\mu N\operatorname{tg}\alpha}{2h}\left(h^2-2h_0^2\right).\] Приравнивая его к \(M\), получаем \[\frac{\mu N\operatorname{tg}\alpha}{2h}\left(h^2-2h_0^2\right)=M \quad\Rightarrow\quad h_0=\sqrt{\frac{h^2}{2}-\frac{hM}{\mu N\operatorname{tg}\alpha}}.\] При \(M=0\) сечение равных скоростей находится на расстоянии \(h/\sqrt{2}\) от вершины, то есть ближе к основанию конуса. С ростом \(M\) оно смещается к вершине; то же происходит при уменьшении силы реакции или коэффициента трения. Если подкоренное выражение отрицательно, трения недостаточно, чтобы затормозить ведущий конус, и постановка задачи (вращение с постоянной угловой скоростью) становится неверной.