ИОШ, 2019/20, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Сначала по таблице истинности 2И-НЕ найдите, что делает каждый элемент при \(Z=0\) и при \(Z=1\) на входе. Затем рассмотрите, как меняется состояние светодиода при кратковременных изменениях входов.

Ответ

Таблица включений: \(Z1=0,\,Z2=0\) — горит; \(Z1=1,\,Z2=0\) — горит; \(Z1=0,\,Z2=1\) — не горит; \(Z1=1,\,Z2=1\) — горит или не горит в зависимости от предыстории. При \(Z1=Z2=1\) горящий светодиод после кратковременной подачи \(Z1=0\) гаснет и остаётся выключенным; после кратковременной подачи \(Z2=0\) остаётся гореть. Погасший светодиод при \(Z1=Z2=1\) после кратковременной подачи \(Z2=0\) загорается и остаётся гореть, а после кратковременной подачи \(Z1=0\) остаётся выключенным.

Решение

Таблица истинности 2И-НЕ: выход \(Y=0\) только при \(X_1=X_2=1\). Если на входе элемента есть нуль, его выход равен единице (напряжение питания) независимо от второго входа.

Случай 1: \(Z1=0,\,Z2=0\). Выход нижнего элемента равен единице — светодиод горит.

Случай 2: \(Z1=1,\,Z2=0\). Выход нижнего элемента снова единица — светодиод горит.

Случай 3: \(Z1=0,\,Z2=1\). Выход верхнего элемента равен единице. На оба входа нижнего элемента подаётся единица, и его выход равен нулю — светодиод не горит.

Случай 4: \(Z1=1,\,Z2=1\). Возможны два устойчивых режима: если на выходе нижнего элемента единица, то выход верхнего равен нулю, и тогда единица на выходе нижнего элемента согласована; если на выходе нижнего элемента нуль, то на входах верхнего элемента единица и нуль, и выход верхнего — единица, и нуль на выходе нижнего также согласован. Поэтому светодиод в этом режиме может гореть или не гореть, в зависимости от предыстории.

Кратковременные изменения. Пусть при \(Z1=Z2=1\) светодиод горит. Кратковременная подача \(Z1=0\) переводит систему в режим \((0,1)\), где светодиод не горит; возвращение к \(Z1=Z2=1\) не восстанавливает горение. Кратковременная подача \(Z2=0\) переводит систему в режим \((1,0)\), где светодиод горит, и он остаётся гореть при возврате. Если же при \(Z1=Z2=1\) светодиод не горит, то кратковременная подача \(Z2=0\) включает его, а кратковременная подача \(Z1=0\) оставляет его выключенным.

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта, связанную с рычагом: там рычаг неподвижен, а колёса вращаются относительно его осей с одинаковыми по модулю угловыми скоростями, но в противоположных направлениях для соседних колёс.

Ответ

\(\omega_6=2\omega\); пятое колесо покоится, \(\omega_5=0\).

Решение

Перейдём в систему отсчёта, вращающуюся вместе с рычагом. В ней рычаг покоится, колесо 1 вращается против часовой стрелки с угловой скоростью \(\omega\), колесо 2 — по часовой стрелке с угловой скоростью \(\omega\), колесо 3 — против часовой стрелки и т. д. Возвращаясь в систему, связанную с землёй, видим, что угловые скорости всех чётных колёс складываются с угловой скоростью рычага, а нечётных — вычитаются. Поэтому угловая скорость шестого колеса равна \(2\omega\), пятого — нулю.

Можно решить и без перехода в систему рычага. Колесо 1 неподвижно, поэтому скорость точки второго колеса, касающейся первого, равна нулю; скорость центра колеса 1 равна \(v_1=2r\omega\) (скорость рычага в этой точке). Отсюда \(\omega_2=2\omega\). Далее по цепочке получаем, что скорости центров нечётных колёс равны нулю, а чётных — \(2r\omega\) по модулю, то есть \(\omega_6=2\omega\), \(\omega_5=0\).

Подсказка

Найдите сопротивления ламп по номинальным мощностям и напряжению сети, затем общий ток и распределение тока между лампами второй группы.

Ответ

\(P_1'=22{,}5\) Вт (лампа 40 Вт); \(P_2'=3{,}75\) Вт (каждая из ламп 60 Вт). Исправление: все лампы подключить параллельно друг другу к сети, чтобы на каждой было номинальное напряжение.

Решение

Сопротивления ламп при номинальном напряжении \(U\) сети: \(R_1=\dfrac{U^2}{P_1}\), \(R_2=\dfrac{U^2}{P_2}\). Две лампы 60 Вт соединены параллельно, их сопротивление \(R_2/2\). Общее сопротивление цепи \[R=R_1+\frac{R_2}{2}=\frac{U^2\,(P_1+2P_2)}{2P_1P_2}.\] Ток в цепи \(I=\dfrac{U}{R}=\dfrac{2P_1P_2}{U\,(P_1+2P_2)}\). Мощность на лампе 40 Вт \[P_1'=I^2R_1=\frac{4P_1P_2^2}{(P_1+2P_2)^2}=22{,}5\ \text{Вт}.\] Через каждую из двух ламп 60 Вт течёт ток \(I/2\), поэтому мощность на каждой \[P_2'=\left(\frac{I}{2}\right)^2R_2=\frac{P_1^2P_2}{(P_1+2P_2)^2}=3{,}75\ \text{Вт}.\] Правильное подключение — параллельное подключение всех ламп, при котором на каждой из них будет номинальное напряжение сети.

Подсказка

Рассмотрите один из нижних шаров и условие равновесия моментов сил относительно точки его касания с полом: какие силы имеют ненулевое плечо?

Ответ

Ни при каком коэффициенте трения: шары раскатятся при любом сколь угодно малом трении.

Решение

Рассмотрим один из нижних шаров. На него действуют сила тяжести \(m\vec g\), сила \(\vec N\) со стороны верхнего шара, сила реакции пола \(\vec N_1\), сила трения пола \(\vec F_{\text{тр}}\), мешающая шарам разъезжаться (см. рисунок).

Условие равенства моментов относительно точки касания шара с полом: сила тяжести, сила реакции пола и сила трения имеют нулевые плечи относительно этой точки, а сила \(\vec N\) — ненулевое. Поэтому условие моментов в принципе не может быть выполнено, и шары не могут находиться в равновесии. Это значит, что при любом сколь угодно малом трении шары будут раскатываться.

Подсказка

Постройте отрезок, перпендикулярный направляющим, и найдите в чертеже несколько серий подобных треугольников: их отношения сцепляют длины отрезков в цепочку.

Ответ

Кубический корень из расстояния между направляющими равен длине отрезка \(EF\), если в качестве единицы длины взять отрезок \(GH\).

Решение

Построим вспомогательный отрезок \(GH\), перпендикулярный направляющим. Благодаря параллельности отрезков \(AD\), \(BC\), \(EF\) и \(GH\) в мезолябии есть ряд подобных треугольников: \(ACD\), \(BFC\) и \(EHF\), а также \(ABC\), \(BEF\) и \(EGH\).

Из подобия треугольников \(ACD\), \(BFC\), \(EHF\): \[\frac{AD}{BC}=\frac{DC}{CF}, \qquad \frac{BC}{CF}=\frac{EF}{FH}.\] Из подобия треугольников \(ABC\), \(BEF\), \(EGH\) (отрезки \(DC\), \(CF\), \(FH\) — их высоты): \[\frac{BC}{EF}=\frac{DC}{CF}, \qquad \frac{EF}{GH}=\frac{CF}{FH}.\] Отсюда \[\frac{AD}{BC}=\frac{BC}{EF}=\frac{EF}{GH},\] и далее \(AD=\dfrac{BC^2}{EF}\), \(BC=\dfrac{EF^2}{GH}\), откуда \[\sqrt[3]{\frac{AD}{GH}}=\frac{EF}{GH}.\] Это равенство означает, что кубический корень из длины отрезка \(AD\), измеренного в единицах \(GH\), равен длине отрезка \(EF\), измеренного в единицах \(GH\). Таким образом, кубический корень из расстояния между направляющими равен длине отрезка \(EF\) при условии, что единицей длины служит отрезок \(GH\).

Подсказка

Сечение равных скоростей — то место, где трение разгоняет и тормозит ведущий конус в равной мере по моменту. Запишите момент силы трения для тонкого слоя конуса на расстоянии \(x\) от вершины и приравняйте сумму к \(M\).

Ответ

\(h_0=\sqrt{\dfrac{h^2}{2}-\dfrac{hM}{\mu N\,\operatorname{tg}\alpha}}\) — расстояние от вершины ведущего конуса до сечения равных скоростей.

Решение

За счёт силы трения ведущий конус разгонит ведомый до некоторой угловой скорости; в стационарном режиме угловые скорости обоих конусов постоянны. Линейные скорости точек поверхности конусов разные, поэтому в одних точках ведущий конус опережает ведомый (трение тормозит ведущий), в других — отстаёт (трение разгоняет ведущий). Суммарный момент трения должен уравновешивать внешний момент \(M\).

Пусть сечение равных скоростей находится на расстоянии \(h_0\) от вершины ведущего конуса. Тонкий слой конуса толщиной \(\Delta x\) на расстоянии \(x\) от вершины испытывает силу трения \(\Delta F_{\text{тр}}=\mu N\dfrac{\Delta x}{h}\) и создаёт относительно оси момент \(\Delta M_{\text{тр}}=\mu N\dfrac{\Delta x}{h}\,r\), где радиус слоя \(r=x\operatorname{tg}\alpha\). Поэтому \[\Delta M_{\text{тр}}=\frac{\mu N\operatorname{tg}\alpha}{h}\,x\,\Delta x.\] Суммы тормозящих моментов (слои между основанием и сечением равных скоростей, \(x\) от \(h_0\) до \(h\)) и разгоняющих (слои между сечением и вершиной, \(x\) от \(0\) до \(h_0\)) вычисляются как площади под графиком \(f(x)=x\). Их разность даёт суммарный момент трения ведомого конуса на ведущий: \[M_{\text{тр}}=\frac{\mu N\operatorname{tg}\alpha}{2h}\left(h^2-h_0^2\right)-\frac{\mu N\operatorname{tg}\alpha}{2h}\,h_0^2=\frac{\mu N\operatorname{tg}\alpha}{2h}\left(h^2-2h_0^2\right).\] Приравнивая его к \(M\), получаем \[\frac{\mu N\operatorname{tg}\alpha}{2h}\left(h^2-2h_0^2\right)=M \quad\Rightarrow\quad h_0=\sqrt{\frac{h^2}{2}-\frac{hM}{\mu N\operatorname{tg}\alpha}}.\] При \(M=0\) сечение равных скоростей находится на расстоянии \(h/\sqrt{2}\) от вершины, то есть ближе к основанию конуса. С ростом \(M\) оно смещается к вершине; то же происходит при уменьшении силы реакции или коэффициента трения. Если подкоренное выражение отрицательно, трения недостаточно, чтобы затормозить ведущий конус, и постановка задачи (вращение с постоянной угловой скоростью) становится неверной.