У школьника есть большое количество разных квадратных пластин, сделанных из материала толщиной, равной $d=\dfrac16$ см. Подбирая пластины одинакового размера, он сделал много разных коробок в виде куба без крышки (для примера см. рис. сверху). Затем школьник стал подбирать и вставлять коробки друг в друга так, чтобы между соседними коробками практически не было зазоров (условно показано на рис. снизу). Чему примерно равна суммарная площадь внутренних поверхностей всех составленных вместе коробок, если у самой большой из них эта площадь была равна $S_1=2000$ см$^2$, а у самой маленькой — в 4 раза меньше? Влиянием мест сочленения пластин на форму коробки можно пренебречь.

$S_X\approx3{,}7\cdot10^4$ см$^2$ (точнее — около $3{,}6\cdot10^4$ см$^2$).

Коробки из пластин — Всесибирская 2020/21, заключительный этап, 7 кл., задача 4

Коробки из пластин
Всесибирская 2020/21, заключительный этап, 7 кл. · №25277
6/10PDF: условие с решением
У школьника есть большое количество разных квадратных пластин, сделанных из материала толщиной, равной $d=\dfrac16$ см. Подбирая пластины одинакового размера, он сделал много разных коробок в виде куба без крышки (для примера см. рис. сверху). Затем школьник стал подбирать и вставлять коробки друг в друга так, чтобы между соседними коробками практически не было зазоров (условно показано на рис. снизу). Чему примерно равна суммарная площадь внутренних поверхностей всех составленных вместе коробок, если у самой большой из них эта площадь была равна $S_1=2000$ см$^2$, а у самой маленькой — в 4 раза меньше? Влиянием мест сочленения пластин на форму коробки можно пренебречь.

▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
Подсказка
Площадь поверхности, умноженная на толщину стенки, даёт объём материала. Тогда искомая площадь равна объёму всего материала, делённому на $d$. Объём материала найдите как объём сплошной фигуры, повторяющей внешнюю форму вставленных коробок.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ
$S_X\approx3{,}7\cdot10^4$ см$^2$ (точнее — около $3{,}6\cdot10^4$ см$^2$).
▶РешениеСкрыть: решение
Решение
Пусть $L_1$ — длина ребра самой большой коробки (по внутренней стороне), $L_2$ — длина ребра самой маленькой, $S_2$ — площадь внутренней поверхности самой маленькой коробки, $V$ — объём материала всех коробок, $S_X$ — искомая площадь.

Каждая коробка состоит из 5 пластин, поэтому $S_1=5L_1^2=2000$ см$^2$, $L_1=20$ см; $S_2=S_1/4=500$ см$^2$, $L_2=10$ см. Длина ребра каждой следующей коробки больше предыдущей на $2d$, поэтому число коробок равно $$\dfrac{L_1-L_2}{2d}+1=31.$$

Площадь внутренней поверхности, умноженная на толщину стенки, даёт объём материала, поэтому $S_X=V/d$.

Объём материала, затраченного на все коробки, совпадает с объёмом сплошной фигуры, повторяющей внешнюю форму вставленных коробок (с учётом того, что места сочленения не влияют на форму): $$V\approx\dfrac56\left(L_1^3-L_2^3\right)+dS_1.$$ Коэффициент $5/6$ получается так: если бы все коробки были с крышками, объём составил бы примерно $L_1^3-L_2^3$; верхняя часть фигуры (выделена на рисунке точками) составляет шестую часть всей конструкции, так как остальные пять её частей одинаковы по форме и размерам. Слагаемое $dS_1$ учитывает объём самой большой коробки по её внутренней стороне.

Итак, $$S_X\approx\dfrac{5\left(L_1^3-L_2^3\right)}{6d}+S_1=35 000+2000=37 000 см^2.$$

Эта оценка немного выше точного ответа ($36\,253$ см$^2$), так как при ней считается, что вставленные коробки не имеют пустот между собой. В местах сгиба пустоты есть: на каждую коробку с внутренней стороной $L$ объём пустот примерно $\left(8+\dfrac{4}{2}\right)(L+d)d^2$. Суммарный лишний объём оценивается как $V'\approx300(L_1+d)d^2+20d^3\cdot435\approx168+40\approx208$ см$^3$, а лишняя площадь — $V'/d$.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Нашли ошибку?

Коробки из пластин

Коробки из пластин

Похожие задачи