Брусок, вмороженный в лёд

Пружина в обоих состояниях растянута одинаково, значит, её сила одна и та же. Определите, какая часть объёма «бруска со льдом» была под водой в исходном положении, и запишите равновесие системы до и после таяния льда.

\(\dfrac{\rho_ж}{\rho_л}=\dfrac{14}{11}\).

Обозначим массу и объём металлического бруска \(M\) и \(V\) (сам объём в ответ не входит), \(F\) — сила упругости пружины, \(\rho_л\) и \(\rho_ж\) — плотности льда и жидкости. Искомое отношение — \(\rho_ж/\rho_л\).

Сила упругости пружины одна и та же в исходной и конечной ситуации. Объём льда в куске равен \(4\cdot4\cdot12-2\cdot2\cdot6=168\) см\(^3=7V\), а его масса \(7V\rho_л\).

В конечной ситуации брусок погружён на половину своей высоты (3 см), пружина не изменила деформацию, а уровень жидкости не изменился. Значит, в исходном положении составное тело «брусок + намороженный лёд» (объём \(8V\)) было погружено на \(3/4\) своего объёма. Условие равновесия в исходном положении: $$\dfrac34\cdot8V\rho_ж g+F=(M+7V\rho_л)g.$$ После таяния льда брусок погружён наполовину (\(V/2\) под водой): $$\dfrac12V\rho_ж g+F=Mg.$$ Вычитая второе уравнение из первого, получаем \(\dfrac{11}{2}\rho_ж=7\rho_л\), откуда $$\dfrac{\rho_ж}{\rho_л}=\dfrac{14}{11}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.