Жуки (теоретический тур)

Пока жуки ползут, правило моментов относительно точки опоры 2 даёт реакцию \(N_1\), зависящую от времени; опрокидывание наступает, когда реакция опоры 2 обращается в ноль.

На систему «соломинка + жуки» действуют сила тяжести соломинки \(Mg\), силы реакции опор \(N_1\) и \(N_2\) и силы тяжести жуков \(m_1 g\) и \(m_2 g\). Правило моментов для системы относительно точки 1 имеет вид: \[m_1 g\,l_1 + N_2 l_2 = m_2 g\,(l_2 + l_3) + Mg\left(\dfrac{l_1 + l_2 + l_3}{2} - l_1\right).\]

Тогда: \[N_2 = \dfrac{m_2 g\,(l_2 + l_3) + Mg\,(l_2 + l_3 - l_1)/2 - m_1 g\,l_1}{l_2} = 15~\text{мН}.\] Реакцию опоры в точке 1 в начальный момент времени можно найти из равенства нулю суммы всех сил, действующих на соломинку, или записав правило моментов относительно точки 2: \[N_1 = \dfrac{m_1 g\,(l_1 + l_2) + Mg\,(l_1 + l_2 - l_3)/2 - m_2 g\,l_3}{l_2} = 65~\text{мН}.\] Для произвольного момента времени силы реакций опор равны: \[n_1(t) = N_1 + \dfrac{g}{l_2}(m_2 v_2 - m_1 v_1)\,t, \qquad n_2(t) = N_2 - \dfrac{g}{l_2}(m_2 v_2 - m_1 v_1)\,t.\] С учётом численной подстановки реакция опоры в точке 1 увеличивается со временем, а в точке 2 — уменьшается. Отрыв и опрокидывание соломинки произойдёт через время \(t_\text{к}\), когда сила реакции \(n_2\) обратится в ноль: \[n_2(t_\text{к}) = N_2 - \dfrac{g}{l_2}(m_2 v_2 - m_1 v_1)\,t_\text{к} = 0, \qquad t_\text{к} = \dfrac{N_2 l_2}{g(m_2 v_2 - m_1 v_1)} = 4~\text{с}.\] Для ответа на третий вопрос найдём время встречи жуков \(t_0\): \[t_0 = \dfrac{l_1 + l_2 + l_3}{v_1 + v_2} = 4{,}8~\text{с}.\] Можно заметить, что время встречи больше времени \(t_\text{к}\). Найдём расстояние \(x\) от левого края соломинки до места встречи: \(x = v_1 t_0 = 4{,}8\) см \(< l_1\). Следовательно, место встречи находится левее точки 1. Чтобы в этот момент соломинка не опрокинулась, момент её силы тяжести должен быть не меньше момента сил тяжести жуков: \[M_0 g\left(\dfrac{l_1 + l_2 + l_3}{2} - l_1\right) \geqslant (m_1 + m_2) g\,(l_1 - x), \qquad M_0 \geqslant \dfrac{2(m_1 + m_2)(l_1 - x)}{l_2 + l_3 - l_1} = 1{,}4~\text{г}.\]