Задачи › Средняя плотность, сплавы и смеси

Фиолетовые смеси (теоретический тур)

  1. Фиолетовые смеси (теоретический тур)

    Максвелл 2016/17, 7 кл.
    5/10

    В домашней лаборатории экспериментатора Глюка в двух стаканах хранились две жидкости. В одном — синяя объёмом \(V\) и плотностью \(\rho\), а в другом — красная с вдвое меньшим объёмом и неизвестной плотностью \(\rho_x\). Однажды экспериментатор смешал половину синей и половину красной жидкости в колбе, получив фиолетовую смесь с плотностью \(\rho_1 = \dfrac{4\rho}{3}\). Остатки жидкостей из стаканов он смешал во второй и третьей колбе, при этом плотность смеси во второй оказалась \(\rho_2 = \dfrac{5\rho}{4}\).

    1. Определите плотность красной жидкости \(\rho_x\).

    2. Найдите зависимость плотности жидкости в третьей колбе \(\rho_3(U)\) от объёма \(U\) смеси в ней.

    3. Определите, какие максимальные и минимальные значения может принимать плотность \(\rho_3\).

    Считайте, что объём смеси равен сумме объёмов жидкостей до смешивания.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Масса смеси равна сумме масс её компонент: это даёт \(\rho_x\). Для второй колбы обозначьте объём синей жидкости \(V_2\), красной \(\alpha V_2\) и найдите \(\alpha\). Границы \(\rho_3\) задаются границами \(V_2\), при которых синяя и красная жидкости ещё не закончились.

    Ответ

    1) \(\rho_x = 2\rho\);  2) \(\rho_3 = \left(\dfrac{5}{4} + \dfrac{V}{16U}\right)\rho\), где \(\dfrac{V}{12} \leqslant U < \dfrac{3V}{4}\);  3) \(\dfrac{4}{3}\rho < \rho_3 \leqslant 2\rho\).

    Решение

    Масса жидкости в первой колбе равна сумме масс смешанных жидкостей: \[\rho_1\left(\dfrac{V}{2} + \dfrac{V}{4}\right) = \dfrac{4}{3}\rho\cdot\dfrac{3}{4}V = \dfrac{V}{2}\rho + \dfrac{V}{4}\rho_x,\] откуда \(\rho_x = 2\rho\).

    Пусть объём синей жидкости во второй колбе равен \(V_2\), а объём красной — \(\alpha V_2\). Тогда: \[\rho_2 = \dfrac{5}{4}\rho = \dfrac{V_2\rho + \alpha V_2\cdot 2\rho}{(1 + \alpha)V_2},\] откуда следует \(\alpha = 1/3\).

    Найдём зависимость плотности смеси в третьей колбе от её объёма: \[\rho_3 = \dfrac{\left(\dfrac{V}{2} - V_2\right)\rho + \left(\dfrac{V}{4} - \alpha V_2\right)\cdot 2\rho}{U},\] причём \(\dfrac{V}{2} - V_2 + \dfrac{V}{4} - \alpha V_2 = U\), откуда: \[\rho_3 = \left(\dfrac{5}{4} + \dfrac{V}{16U}\right)\rho.\] Так как \(0 < V_2 < V/2\) (раньше может закончиться синяя жидкость), \(V/12 \leqslant U < 3V/4\). Окончательно: \[\dfrac{4}{3}\rho < \rho_3 \leqslant 2\rho.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх