Средняя плотность, сплавы и смеси

Основой монетной системы Российской Империи начала ХХ в. был золотой рубль. Один рубль в те годы приравнивали к 0,774 г чистого золота. Поэтому монета номиналом 10 рублей должна была бы весить 7,74 грамма. Однако на самом деле десятирублевая монета весила 8,6 г. Каково процентное содержание чистого золота в этой монете?

Предприниматель Иван Михайлович Петров заправляет свою роскошную машину исключительно бензином АИ-98, плотность которого 770 кг/м\(^3\). В один печальный день Иван Михайлович попал в затруднительное положение, поскольку на последней бензоколонке его долгого пути в наличии был только бензин АИ-80 плотностью 730 кг/м\(^3\). Этим бензином и был заправлен доверху пустой на три четверти бак автомобиля Ивана Михайловича. Определите (в кг/м\(^3\)) плотность смеси, образовавшейся в бензобаке.

На тарелке лежит торт, состоящий из трёх слоёв. Эти слои имеют высоту \(h_1 = 15\) мм, \(h_2 = 25\) мм и \(h_3 = 20\) мм, а их плотности соответственно равны \(\rho_1 = 600\) кг/м\(^3\), \(\rho_2 = 460\) кг/м\(^3\) и \(\rho_3 = 400\) кг/м\(^3\). Чему равна средняя плотность всего торта? Ответ выразите в кг/м\(^3\), округлите до целого числа.

Злая мачеха Золушки высыпала в пустой котел полпуда овса и пуд ржи и перемешала. Объем зернышка овса равен \(0{,}04\) см\(^3\). Сколько зернышек овса потребуется обнаружить и выбрать Золушке из котла, чтобы, отделив овес от ржи, поехать на бал? Один пуд равен 16 кг. Плотность зерен овса 1250 кг/м\(^3\).

В пол-литровую кружку, доверху заполненную водой, погрузили грузик массой 200 г. Определите, на сколько изменится плотность содержимого кружки? Плотность воды 1 г/см\(^3\), плотность груза 11,3 г/см\(^3\).

Для плоских однородных тел постоянной толщины удобной характеристикой является поверхностная плотность \(\sigma\), измеряемая в кг/м\(^2\) (масса единицы площади). Плоская квадратная пластина, сделанная из фанеры, имеет поверхностную плотность 2,3 кг/м\(^2\). Из бумаги сначала вырезали такой же квадрат, а потом разрезали его на три части, как показано на рисунке (верхний). Затем среднюю часть приклеили к пластине (см. нижний рисунок). Определите среднюю поверхностную плотность получившейся пластины, если поверхностная плотность бумаги равна 200 г/м\(^2\).

Изделие представляет собой основу массой 6 тонн, сделанную из материала плотностью \(3000\text{ кг/м}^3\), окруженную защитной полимерной оболочкой. Какова должна быть плотность полимера, если объем изделия не должен превышать \(2{,}1\text{ м}^3\), а масса не должна превышать 6,08 тонн? Ответ дайте в \(\text{кг/м}^3\).

В XVI веке мощная буря, прошедшая по Англии в местности Камберленд, вывернула с корнями деревья, и тогда местные пастухи обнаружили в обнажившейся земле под вывернутыми корнями некую тёмную массу, которую они посчитали углём, который поджечь, однако, не удалось. Это был графит. В дальнейшем из него начали производить тонкие заострённые на конце палочки и использовали их для рисования. Эти палочки были мягкими, пачкали руки и подходили только для рисования, но не для письма.

Столяр Каспар Фабер начал с 1761 года свое производство деревянных карандашей, что послужило началом истории фирмы Faber-Castell.

Карандаши различаются по твёрдости грифеля. Грифель карандаша средней твёрдости имеет плотность 2,1 г/см\(^3\), плотность деревянной оболочки 0,72 г/см\(^3\). Стандартная длина карандаша 17,5 см. Самый простой из всех простых карандашей имеет круглое сечение. Используя приведённый рисунок поперечного сечения такого карандаша на миллиметровой бумаге, определите его среднюю плотность.

Имеются два металлических шара одинаковой массы: один из них стальной (плотностью \(7{,}8\text{ г/см}^3\)), а другой — алюминиевый (плотностью \(2{,}7\text{ г/см}^3\)). Шары разбили на кусочки и сплавили (при этом объём не изменился). Чему равна плотность получившегося сплава? Ответ выразите в г/см\(^3\) и округлите до десятых.

Для строительства дома требуется смесь песка со щебнем и цемента общей массой 28 тонн, содержащая цемент и песок с щебнем в отношении 1:8 (по объёму). На стройке уже имеется 3 тонны песка со щебнем и 3 тонны цемента, а остальные материалы хранятся на складе недалеко от стройплощадки.

1. Сколько тонн песка со щебнем и сколько тонн цемента требуется для строительства дома?

2. Сколько поездок потребуется совершить, чтобы доставить недостающие строительные материалы, если вместимость кузова электрокара, в котором их будут перевозить, составляет 400 л?

Вася наполнил две одинаковые легкие пластиковые бутылки емкостью 1 литр кварцевым песком по самое горлышко, и взвесил их. Получились одинаковые массы 1530 г. Затем Вася аккуратно пересыпал песок из одной бутылки в пакет, заполнил бутылку наполовину водой и медленно высыпал весь песок из пакета обратно в эту бутылку, которая снова оказалась заполненной по самое горлышко смесью песка с водой. Весы показали массу бутылки 1866 г. Какова плотность кварца?

В тексте одной из задач задачника Григория Остера «Ненаглядное пособие по математике» написано следующее:

«В специальный ящик можно уложить 68 куриных яиц. Если уминать их ногами, то поместится в 100 раз больше».

С точки зрения физики, это может показаться странным. Жидкости (в частности, белок и желток куриных яиц) трудно поддаются сжатию. Поэтому плотности белка и желтка практически невозможно изменить, уминая яйца ногами. То же самое справедливо и в отношении яичной скорлупы. Поэтому, если яйца в ящике лежат вплотную друг к другу, то объём содержимого ящика нельзя изменить в такое большое число (100) раз.

Однако, в задаче сказано, что ящик "— специальный. Можно предположить, что в ящике были специальные перегородки, за счёт которых яйца укладывались не вплотную, а на некотором расстоянии друг от друга, и большую часть объёма ящика занимал воздух. Предположим, что эти перегородки были лёгкими и тонкими: масса и объём всех перегородок пренебрежимо мала по сравнению с массой и объёмом всех яиц. Будем считать также, что при уминании яиц ногами белок и желток не выплёскиваются из ящика. Известно, что средняя плотность одного куриного яйца равна \(1060\) кг/м\(^3\). Зная это, ответьте на следующие вопросы.

1. Чему равна средняя плотность содержимого специального ящика с 68 куриными яйцами?

2. Чему равна средняя плотность содержимого специального ящика, если в него положили только 40 яиц?

Три детали, изготовленные из разных материалов, склеили так, что получился составной шарик. Объёмы, плотности и масса для некоторых деталей указаны на рисунке, где \(M\) и \(V\) — масса и объём составного шарика соответственно. Какова средняя плотность шарика?

Если сосуд с песком подвергнуть вибрации (потрясти), то можно наблюдать интересное явление "— песок становится похож на жидкость. Тела, плотность которых достаточно велика, тонут в этом «жидком песке», а тела с небольшой плотностью (например, деревянные) наоборот всплывают на поверхность, даже если изначально они были на дне сосуда. Так происходит потому, что при встряхивании уменьшаются силы трения между песчинками. Рассмотрим опыт. На дне цилиндрического сосуда находится песок (см. рис.). Поверх песка насыпана галька. Сосуд подвергают вибрации, и песок становится «жидким». Галька постепенно опускается на дно сосуда, а песок заполняет все пустоты между её камнями. Чему станет равен уровень содержимого в сосуде после оседания гальки, если изначально уровень песка был равен \(h_1 = 0{,}6\) м, а уровень гальки \(h_2 = 1\) м? Плотность камней гальки равна \(\rho_0 = 2600\) кг/м\(^3\), а её насыпная плотность "— \(\rho_1 = 1500\) кг/м\(^3\).

На чаши рычажных весов поставили два одинаковых стакана. В один стакан насыпали до краёв маленькие медные шарики, а во второй — такие же по размеру кадмиевые шарики. Когда в стакан с кадмиевыми шариками налили воду до краёв, весы пришли в равновесие, а чаши оказались на одном уровне. Найдите, какую часть от полного объёма стакана занимают шарики. Плотность воды \(1{,}0\) г/см\(^3\), плотность меди \(8{,}9\) г/см\(^3\), плотность кадмия \(8{,}7\) г/см\(^3\).

Имеется 60 одинаковых по размеру кубиков. Плотность материала первого кубика равна 1,1 г/см\(^3\), второго 1,2 г/см\(^3\), третьего 1,3 г/см\(^3\) и т.д. (у каждого следующего кубика плотность на 0,1 г/см\(^3\) больше, чем у предыдущего). Последний кубик сделан из материала плотностью 7,0 г/см\(^3\). Из этих кубиков складывают большой куб, состоящий из 27 кубиков.

1. Определите минимально возможное значение средней плотности большого кубика. Ответ выразите в г/см\(^3\), округлите до десятых.

2. Определите максимально возможное значение средней плотности большого кубика. Ответ выразите в г/см\(^3\), округлите до десятых.

3. Найдите максимальное изменение средней плотности составного куба при замене в нем одного кубика кубиком другой плотности. Ответ выразите в г/см\(^3\), округлите до сотых.

Имеется 11 дощечек одинаковой формы, сделанных из разного материала. Плотность первой дощечки 1,0 г/см\(^3\), второй "— 1,1 г/см\(^3\), третьей "— 1,2 г/см\(^3\), …, одиннадцатой "— 2,0 г/см\(^3\), то есть плотность каждой последующей дощечки больше на 0,1 г/см\(^3\), чем у предыдущей. Из всех дощечек соорудили «башню».

1. Какова средняя плотность «башни»? Ответ выразите в г/см\(^3\), округлите до десятых.

2. Чему равен объём одной дощечки, если масса «башни» равна 1,65 кг. Ответ выразите в см\(^3\), округлите до целого числа.

3. Из «башни» вынули одну дощечку. В итоге оказалось, что средняя плотность «башни» не изменилась. Какую дощечку убрали? В качестве ответа укажите номер дощечки, то есть целое число от 1 до 11.

Золотоискатель нашёл кристалл кварца с кусочком чистого золота внутри. Он надеялся хорошо заработать на продаже кристалла и не стал вынимать из него золото. Ювелир взвесил и измерил кристалл. Масса кристалла оказалась равной 100 г, объём 12,5 см\(^3\). Ювелир согласился заплатить только за чистое золото. После некоторых расчётов ювелир сказал золотоискателю, что масса чистого золота 64 г. Сколько грамм чистого золота ювелир нечестно присвоил себе, не оплатив золотоискателю? Плотность золота 19,3 г/см\(^3\), плотность кварца 2,7 г/см\(^3\). Ответ выразите в граммах, округлите до целого числа.

Ювелирное украшение (цепочка) объёмом 1,61 см\(^3\) сделано из розового золота (сплав золота и меди) 750-ой пробы. Проба золота — это маркировка, указывающая количество миллиграммов золота, которое содержится в 1 грамме пробируемого сплава. Сколько грамм меди \(m\) следует добавить к цепочке при переплавке, чтобы в результате получилось красное золото 500-ой пробы? Плотности золота и меди равны: 19300 кг/м\(^3\) и 8900 кг/м\(^3\). Считайте, что объём сплава равен сумме объёмов компонентов. В ответе укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.

На дно сосуда, доверху заполненного водой, аккуратно помещают железный кубик. В результате средняя плотность содержимого сосуда увеличивается на 400 кг/м\(^3\). Плотность воды равна 1000 кг/м\(^3\), плотность железа — 7800 кг/м\(^3\). До погружения кубика в сосуде находилась только вода. Во сколько раз объём сосуда больше, чем объём кубика? Ответ округлите до целого числа.

Семиклассник Вася увлекся кулинарией и решил разработать рецепт нового угощения из пастилы и шоколада. Для этого он взял кусочек пастилы длиной 10 см квадратного сечения со стороной 2 см. Масса кусочка равнялась 13 г. Вася разрезал пастилу поперёк на 5 маленьких кусков и опустил их в горячий шоколад, а потом вынул. Масса всех кусочков после этого составила 25 г. Найдя в кулинарном справочнике значение плотности шоколада 1,6 г/см\(^3\), Вася решил рассчитать толщину слоя шоколада, оставшегося на кусочках. Какое значение у него получилось? Ответ выразите в мм, округлив до десятых. Толщина слоя шоколада намного меньше размеров кусочка пастилы.

В лабораторный резервуар, изначально содержащий некоторое количество дистиллированной воды, было добавлено 0,8 л концентрированного раствора глицерина. В результате плотность содержимого резервуара возросла на \(\Delta\rho = 18\) кг/м\(^3\), а его общий объём увеличился на одну треть от первоначального. Плотность воды равна 1000 кг/м\(^3\). Считайте, что объём смеси равен сумме объёмов исходных жидкостей.

1. Найдите плотность внесённого глицеринового раствора. Ответ выразите в кг/м\(^3\), округлите до целого числа.

2. Какой дополнительный объём того же раствора необходимо добавить к полученной смеси, чтобы увеличить её плотность ещё на \(\Delta\rho\)? Ответ выразите в л, округлите до десятых.

Школьница Ирина исследует кубики с длиной ребра 1 см. При взвешивании серебряного кубика почему-то оказалось, что его масса меньше, чем масса железного кубика. Ирина предположила, что внутри серебряного кубика имеется кусок алюминия неизвестного объёма. Каким может быть объём алюминия, находящегося внутри серебряного кубика? Какой может быть масса серебра? А масса алюминия? Плотность серебра 10,3 г/см\(^3\), алюминия 2,7 г/см\(^3\), железа 7,8 г/см\(^3\).

Школьница Ирина исследует кубики с длиной ребра 1 см. При взвешивании серебряного кубика почему-то оказалось, что его масса меньше, чем масса железного кубика. Ирина предположила, что внутри серебряного кубика имеется кусок алюминия неизвестного объёма. Каким может быть объём алюминия, находящегося внутри серебряного кубика? Какой может быть масса серебра? А масса алюминия? Плотность серебра 10,3 г/см\(^3\), алюминия 2,7 г/см\(^3\), железа 7,8 г/см\(^3\).

Вася решил изготовить плоскую деталь в форме треугольника по следующей схеме. Сначала картонную модель треугольника он разделил медианами на 6 частей. Затем отдельные части заменил копиями, изготовленными из разных металлов. Использованные металлы и их плотности представлены в таблице. Определите возможные варианты средней плотности получившегося треугольника, собранного из отдельных металлических деталей, если все из перечисленных металлов были использованы ровно по два раза. Сколько различных вариантов средней плотности может получиться, если каждый металл нужно использовать не меньше одного раза? Какая средняя плотность детали в этом случае максимальная, а какая минимальная?

Вася решил изготовить плоскую деталь в форме треугольника по следующей схеме. Сначала картонную модель треугольника он разделил медианами на 6 частей. Затем отдельные части заменил копиями, изготовленными из разных металлов. Использованные металлы и их плотности представлены в таблице. Определите возможные варианты средней плотности получившегося треугольника, собранного из отдельных металлических деталей, если все из перечисленных металлов были использованы ровно по два раза. Сколько различных вариантов средней плотности может получиться, если каждый металл нужно использовать не меньше одного раза? Какая средняя плотность детали в этом случае максимальная, а какая минимальная?

Вася решил изготовить плоскую деталь в форме треугольника по следующей схеме. Сначала картонную модель треугольника он разделил медианами на 6 частей. Затем отдельные части заменил копиями, изготовленными из разных металлов. Использованные металлы и их плотности представлены в таблице. Определите возможные варианты средней плотности получившегося треугольника, собранного из отдельных металлических деталей, если все из перечисленных металлов были использованы ровно по два раза. Сколько различных вариантов средней плотности может получиться, если каждый металл нужно использовать не меньше одного раза? Какая средняя плотность детали в этом случае максимальная, а какая минимальная?

В стакан, до краев заполненный жидкостью, аккуратно помещают небольшой однородный шарик, который тонет и опускается на дно. В результате средняя плотность содержимого стакана становится равной \(\rho_1 = 1200\) кг/м\(^3\). Затем в стакан добавляют еще один такой же шарик, и средняя плотность содержимого становится равной \(\rho_2 = 1260\) кг/м\(^3\). Определите плотность \(\rho_0\) жидкости в стакане.

Две одинаковые коробки плотно заполнили доверху красными и белыми кубиками одинакового размера. В первой коробке красных кубиков на 26 больше, чем белых, и средняя плотность содержимого коробки оказалась равна \(6{,}6\) г/см\(^3\). Средняя плотность содержимого второй коробки равна \(7{,}5\) г/см\(^3\). Объём коробки равен 1 л, масса красного кубика 52 г, белого — 127 г. Кубиков какого цвета во второй коробке больше, и на сколько штук?

Василию нужно залить фундамент дачного дома, для чего ему необходимо \(9{,}4\) м\(^3\) бетона, при этом бюджет Василия ограничен суммой \(50\,000\) рублей. Известно, что для получения бетона необходимо смешать цемент с песком и щебнем, при этом, чем больше объемная доля цемента в смеси, тем качественнее получается бетон, и тем больше значение марки бетона.

В магазине Василий узнал, что цена цемента составляет 180 руб за 50 кг, цена песка составляет 102 руб за 50 кг, цена щебня составляет 130 руб за 40 кг, а соотношения объемов материалов для разных марок бетона указаны в таблице ниже.

К сожалению, часть данных в таблице была утеряна.

1. Помогите Василию заполнить пустые ячейки в таблице. Известно, что объем песка в марке бетона М400 в два раза меньше объема щебня.

2. Определите, какую наилучшую марку бетона может позволить себе Василий. Плотность цемента составляет \(\rho_{\text{цем}} = 1200\) кг/м\(^3\), плотность песка "— \(\rho_{\text{пес}} = 1600\) кг/м\(^3\), плотность щебня "— \(\rho_{\text{щеб}} = 2100\) кг/м\(^3\).

В конце января 2017 года учёные географического факультета МГУ проводили снегомерные работы в Красной Поляне, в долине реки Лаура. В результате измерений был получен график зависимости плотности снега в г/см\(^3\) от расстояния до поверхности Земли в сантиметрах. Непосредственно к грунту примыкала ледяная корка толщиной 2 см и плотностью \(0{,}85\) г/см\(^3\) (соответствующие точки на график не попали). Верхний слой (от 145 см до 170 см) состоял из свежевыпавшего снега плотностью \(0{,}15\) г/см\(^3\).

1. Определите среднюю плотность снежного покрова.

2. Среднемесячная норма осадков для января в Красной Поляне составляет 206 мм. Если слой январского снега начинается с 80 см от поверхности Земли, то какая часть среднеянварской нормы выпала в январе 2017 года? Считайте, что выпавший снег не таял и его не сдувало.

Объём полого медного шара 200 см\(^3\). Если шар поместить в сосуд, наполненный до краев жидкостью, то из сосуда вытечет 178 г воды. Найдите объём полости, если плотность меди равна 8,9 г/см\(^3\). Ответ выразите в см\(^3\), округлите до целого числа.

Плоская деталь в форме квадрата изготовлена по следующей схеме. Картонная модель квадрата была разделена на 5 частей, так как это показано на рисунке. Каждый последующий внутренний квадрат по размеру в два раза меньше внешнего к нему квадрата. Затем отдельные части были заменены копиями, изготовленными из разных материалов одинаковой толщины. При этом плотность материала возрастает на 1 г/см\(^3\) у каждой последующей внутренней детали (плотность первой детали 1 г/см\(^3\), плотность последней 5 г/см\(^3\)). Определите среднюю плотность детали, собранной из отдельных частей. Ответ выразите в г/см\(^3\), округлите до сотых.

В лаборатории у юного химика в двух стаканах хранились две жидкости разного объёма: в одном "— синяя, а в другом "— красная. Однажды химик смешал половину синей и половину красной жидкости в колбе, получив смесь с плотностью \(\rho_1\). Остатки жидкостей из стаканов он смешал во второй и третьей колбе, при этом плотность смеси во второй колбе оказалась равной \(\rho_2\), а в третьей "— \(\rho_3\). Найдите отношение объемов трёх получившихся смесей и запишите условие, которому должны удовлетворять плотности этих смесей. Считайте, что при смешивании жидкостей их объемы складываются.

Снежный покров состоит из верхнего слоя свежевыпавшего снега толщиной \(H_1 = 20\) см и нижнего слоя старого слежавшегося снега толщиной \(H_2 = 10\) см. В две одинаковые цилиндрические мензурки с внутренним диаметром \(d_0 = 5\) см и высотой \(h_0 = 7\) см были помещены образцы снега из каждого слоя, при этом снег в каждую мензурку засыпался доверху, но не утрамбовывался, снег из разных слоёв набирался в разные мензурки. После этого мензурки размещали на столе в отапливаемом помещении. На рис. 1 приведена фотография, полученная в процессе эксперимента. Наблюдения показывают, что с течением времени снежный цилиндр уменьшается в размерах, но сохраняет свою форму. Высота нижней тёмной части снежного цилиндра со временем растёт. Слой воды заметной толщины появляется на дне мензурки после того, как весь снег становится тёмным. В мензурке со свежим снегом к моменту появления воды на дне диаметр цилиндра из снега оказывается равен \(d_1 = 3\) см, а высота — \(h_1 = 4\) см. На дне мензурки со слежавшимся снегом вода появляется, когда диаметр цилиндра из снега становится равен \(d_2 = 4\) см, а высота — \(h_2 = 5\) см.

Можно считать, что снег состоит из кристалликов льда и пустот между ними, внутренняя структура снега при таянии не меняется. Пористостью снега \(\alpha\) называют отношение объема пустот ко всему объему снега: \(\alpha = \dfrac{V_\text{п}}{V_0}\).

1. Определите пористости свежего и слежавшегося снега, считая что снег тает только на внешней поверхности цилиндров.

2. На улице резко потеплело. Снег стал таять. Оцените высоту снежного покрова в тот момент, когда из-под него потекут ручьи. Можно считать, что таяние происходит при условиях, похожих на условия из п. 1), но снег тает только на верхней поверхности слоя.

Строительный песок часто добывается со дна рек или карьеров. Такой песок содержит воду, что количественно характеризует влажность песка, равная \[\varphi = \frac{m_{\text{вод}}}{m_{\text{п}}}.\] \(m_{\text{вод}}\) "— масса воды (в мокром песке), \(m_{\text{п}}\) "— масса песка без воды. Объём влажного песка \(V_{\text{вл}}\) сильно зависит от его влажности. Обозначим \[\alpha = \frac{V_{\text{вл}} - V_{\text{сух}}}{V_{\text{сух}}},\] относительное изменение объёма песка при его увлажнении. Приближённый график зависимости \(\alpha(\varphi)\) приведён на рисунке. Значения влажности песка и относительного изменения объёма выражены в процентах.

1. Определите значение влажности, при которой плотность влажного песка равна плотности сухого.

2. Объём порции влажного песка складывается из объёма песчинок, объёма воды и объёма воздушных полостей: \(V_{\text{вл}} = V_{\text{п}} + V_{\text{вод}} + V_{\text{возд}}\). Когда небольшое количество воды попадает в песок вода обволакивает песчинки за счёт капиллярных сил и отдаляет их друг от друга. Предположим, что объём воды в песке и объём воздушных полостей связаны соотношением \(V_{\text{возд}} = k \cdot V_{\text{вод}} + V_{\text{возд}}^{(0)}\), \(V_{\text{возд}}^{(0)}\) "— объём воздушных полостей при нулевой влажности. Можно ли считать коэффициент пропорциональности \(k\) постоянным на всём возрастающем прямолинейном участке графика? Найдите значение коэффициента \(k\) в середине этого участка графика. Плотность сухого песка \(\rho_{\text{сух}}\) в 1,6 раз больше плотности воды \(\rho_{\text{вод}}\).

Ниже вы видите компьютерный рисунок из «Википедии» (автор: Niabot), на котором изображены первые итерации построения фрактала под названием «Губка Менгера». На первой итерации в кубе делают три сквозных отверстия квадратного сечения. Оси отверстий взаимно перпендикулярны, перпендикулярны граням куба и проходят через середины граней. Длина стороны квадрата, лежащего в сечении отверстия, равна \(\dfrac13\) длины стороны грани куба. На второй итерации подобные отверстия проделывают в маленьких кубиках, образовавшихся на гранях большого куба и так далее.

Пусть имеется заготовка в виде куба с длиной стороны 1 м, изготовленная из пластика плотностью 1000 кг/м\(^3\), а также устройство, при помощи которого можно делать в этой заготовке отверстия квадратного сечения сколь угодно малого размера. Из куба решили изготовить \(n\)-ую итерацию губки Менгера.

1. Чему равна средняя плотность куба на четвёртой итерации (последний кубик на рисунке)?

2. Представим себе, что образующиеся на \(n\)-ой итерации полости заполняют пластиком плотностью 2000 кг/м\(^3\). Чему может быть равна средняя плотность куба на \(n\)-ой (\(n \ge 0\)) итерации? В ответе укажите границы диапазона возможных значений плотности.

3. Нам не нравится, что губка белая. Решили покрасить все грани губки на второй итерации (в том числе все внутренние) синей краской, расход которой составляет 100 г/м\(^2\). Хватит ли одной банки, содержащей 1 кг краски, для этого? А двух банок?

Согласно паспорту детали, изготовленной из сплава меди и свинца, её масса равна \(m = 1000 \pm 1\) г. Измерив объём детали, рассчитали среднее значение плотности, которое оказалось равным \(\rho = 10{,}0\) г/см\(^3\). Сколько грамм меди может содержать в себе деталь, если объём был измерен с погрешностью \(\Delta V = 1\) см\(^3\)? Плотности меди и свинца равны \(\rho_\text{м} = 8{,}9\) г/см\(^3\) и \(\rho_\text{с} = 11{,}3\) г/см\(^3\).

Шар объемом 1 м\(^3\), изготовленный из материала плотностью 2000 кг/м\(^3\), должен плавать, погрузившись полностью, в жидкости плотностью 800 кг/м\(^3\). Какого объема полость следует оставить в шаре? Ответ дайте в дм\(^3\).

Масса канистры с бензином составляет 8 кг, а такой же канистры с водой 11 кг. Плотность бензина составляет \(7/10\) от плотности воды.

Вопрос A (5 баллов). Найдите массу пустой канистры. Ответ представьте в килограммах и округлите до целых.

Вопрос B (5 баллов). Найдите объем канистры. Ответ представьте в литрах и округлите до целых. Один килограмм воды занимает один литр.

Алюминиевый шарик с герметичной внутренней полостью аккуратно опустили в измерительный цилиндр, заполненный водой. При этом объём вытесненной жидкости был равен 18 мл. Затем этот же шарик аккуратно опустили в измерительный цилиндр, заполненный керосином. В этом случае объём вытесненной жидкости равнялся 20 мл. Найдите массу шарика, его объём и объём полости.

Плотность алюминия \(\rho_0 = 2{,}7\) г/см\(^3\), воды \(\rho_1 = 1{,}0\) г/см\(^3\), керосина \(\rho_2 = 0{,}8\) г/см\(^3\). Шарик не касался стенок цилиндра, уровень жидкости в цилиндре всегда был в несколько раз больше диаметра шарика.

Алюминиевый шарик с герметичной внутренней полостью аккуратно опустили в измерительный цилиндр, заполненный водой. При этом объём вытесненной жидкости был равен 18 мл. Затем этот же шарик аккуратно опустили в измерительный цилиндр, заполненный керосином. В этом случае объём вытесненной жидкости равнялся 20 мл. Найдите массу шарика, его объём и объём полости. Плотность алюминия \(\rho_0 = 2{,}7\) г/см\(^3\), воды \(\rho_1 = 1{,}0\) г/см\(^3\), керосина \(\rho_2 = 0{,}8\) г/см\(^3\). Шарик не касался стенок цилиндра, уровень жидкости в цилиндре всегда был в несколько раз больше диаметра шарика.

Согласно закону всемирного тяготения материальная точка и однородный шар притягиваются друг к другу с силой \(F = G\dfrac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\), где \(G\) — фундаментальная константа под названием гравитационная постоянная, \(m_1\), \(m_2\) — массы материальной точки и шара соответственно, \(r\) — расстояние между материальной точкой и центром шара. Чему равна средняя плотность Луны, если средняя плотность Земли равна 5,5 г/см\(^3\)? Радиус Земли равен 6400 км, радиус Луны 1740 км. Ускорение свободного падения на Земле равно 9,8 Н/кг, а на Луне равно 1,6 Н/кг.

Два шарика равной массы сделаны из одного и того же металла. Один из них сплошной, а другой имеет полость. Если в наполненный до краёв сосуд с водой осторожно положить плавать шарик с полостью, то через край сосуда выльется 20 см\(^3\) воды, если же в сосуд погрузить сплошной шарик, то из сосуда вытечет 5 см\(^3\) воды. Плотность воды равна 1 г/см\(^3\). Ускорение свободного падения считать равным 10 Н/кг.

1. Чему равна сила Архимеда, действующая на полый шарик? Ответ выразите в мН, округлите до целого числа.

2. Найдите плотность металла, из которого сделаны шарики. Ответ выразите в г/см\(^3\), округлите до целого числа.

Уголок состоит из двух однородных прямых стержней \(AO\) и \(BO\) одинакового сечения, жёстко соединённых в точке \(O\) (см. рисунок). Уголок подвешивают за нитку, привязанную к его концам, на гладком гвозде, вбитом в стену. В положении равновесия уголок располагается так, как показано на рисунке. Масса уголка равна 440 г. Нить можно считать невесомой.

1. Найдите массы стержней.

2. Чему равна средняя плотность уголка, если плотность стержня \(AO\) равна \(2700\text{ кг/м}^3\)?

Показания весов, на которых стоит стакан, до краев заполненный водой, составляют 340 г. Если в этот же стакан вместо воды налить до краев масло, то весы покажут 310 г. Если в этот же пустой стакан бросить шарик массой 40 г и объемом 20 см\(^3\), и затем налить до краев масло, то шарик окажется лежащим на дне, а весы станут показывать 332 г. Определите массу пустого стакана. Ответ выразите в г, округлив до целого числа. Плотность воды равна 1 г/см\(^3\), плотность масла неизвестна.

В лаборатории имеется ареометр, который позволяет измерять плотность только в диапазоне от \(0{,}90\) г/см\(^3\) до \(1{,}20\) г/см\(^3\). Для определения плотности \(\rho_x\) неизвестной жидкости, которая легче воды, используется метод смешивания. Готовят три смеси с объёмными долями воды: \(0{,}40\), \(0{,}50\) и \(0{,}60\) (эти значения известны точно). Измерения дают следующие значения плотности смесей: \(\rho_1 = 0{,}912\) г/см\(^3\), \(\rho_2 = 0{,}926\) г/см\(^3\) и \(\rho_3 = 0{,}938\) г/см\(^3\). Абсолютная погрешность каждого измерения \(\Delta\rho = 0{,}005\) г/см\(^3\). Плотность воды принята равной \(\rho = 1{,}000\) г/см\(^3\) точно (эталонное значение).

1. Для каждой смеси вычислите плотность исходной жидкости \(\rho_x\) и определите абсолютную погрешность каждого полученного значения. Считайте, что объём смеси равен сумме объёмов смешиваемых жидкостей.

2. Оцените, в каком интервале может находиться истинное значение \(\rho_x\) по результатам трёх измерений с учётом их погрешностей.

3. Если бы у вас была возможность провести только одно измерение, какую объёмную долю воды \(\alpha\) нужно было бы выбрать, чтобы погрешность определения \(\rho_x\) была наименьшей? Учтите, что плотность смеси должна попадать в рабочий диапазон ареометра. Чему равна эта минимальная погрешность? Считайте абсолютную погрешность определения плотности ареометром равной \(\Delta\rho\) для любого значения объёмной доли воды.

Три одинаковых вертикальных цилиндрических сосуда сообщаются при помощи узких трубок с кранами, которые первоначально перекрыты (см. рисунок слева). В левом сосуде под поршнем находится жидкость плотностью \(\rho_1\), в правом сосуде под поршнем – жидкость с плотностью \(\rho_2\), а средний сосуд пуст. Краны одновременно открывают, и в тот же момент начинают двигать вниз оба поршня с постоянными скоростями. Сначала разница уровней поршней по вертикали увеличивается со скоростью \(V\). Затем, в некоторый момент, скорости поршней изменяются – они продолжают двигаться с постоянными скоростями, но теперь разница уровней поршней по вертикали уменьшается с такой же скоростью \(V\). Пользуясь графиком зависимости высоты \(h\) уровня смеси в среднем сосуде от расстояния по вертикали \(l\) между поршнями (см. рисунок справа), найдите среднюю плотность смеси в тот момент, когда \(h = 6\) см.

Можно считать, что объём смеси равен сумме объёмов жидкостей, которые перетекли из крайних сосудов.

В кусок пористого льда вморожен деревянный шарик. Объём льда (с учётом пор, заполненных воздухом) равен объёму шарика. К шарику присоединена тонкая, невесомая нитка. Лёд с шариком погружают в цилиндрический сосуд с водой, нитку закрепляют на дне сосуда, так что лёд оказывается погружён в воду полностью. Можно считать, что поры льда остаются заполненными воздухом. Уровень воды в сосуде после погружения куска льда с шариком возрастает на \(h_0 = 12\) см. После таяния льда деревянный шарик остаётся полностью погружён в воду, а уровень воды в сосуде понижается на \(\Delta h = 3\) см. Считайте, что ускорение свободного падения равно 10 м/с\(^2\).

1. (5 баллов) Определите отношение \(n = \dfrac{V_\text{п}}{V}\), где \(V_\text{п}\) "— объём пор, \(V\) "— объём пористого льда (суммарный объём льда и пор). Плотности дерева, льда и воды равны соответственно 500 кг/м\(^3\), 900 кг/м\(^3\) и 1000 кг/м\(^3\). В ответе на вопрос укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.

2. (3 балла) Если масса деревянного шарика равна 100 г, то чему равна сила натяжения нити до начала таяния льда? Ответ дайте в ньютонах, округлите до целого.

В кусок пористого льда вморожен деревянный шарик. Объём льда (с учётом пор, заполненных воздухом) равен объёму шарика. К шарику присоединена тонкая, невесомая нитка. Лёд с шариком погружают в цилиндрический сосуд с водой, нитку закрепляют на дне сосуда, так что лёд оказывается погружён в воду полностью. Можно считать, что поры льда остаются заполненными воздухом. Уровень воды в сосуде после погружения куска льда с шариком возрастает на \(h_0 = 12\) см. После таяния льда деревянный шарик остаётся полностью погружён в воду, а уровень воды в сосуде понижается на \(\Delta h = 3\) см. Считайте, что ускорение свободного падения равно 10 м/c\(^2\).

1. (5 баллов) Определите отношение \(n = V_{\text{п}}/V\), где \(V_{\text{п}}\) — объём пор, \(V\) — объём пористого льда (суммарный объём льда и пор). Плотности дерева, льда и воды равны соответственно 500 кг/м\(^3\), 900 кг/м\(^3\) и 1000 кг/м\(^3\). В ответе на вопрос укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.

2. (2 балла) Если масса деревянного шарика равна 100 г, то чему равна сила натяжения нити до начала таяния льда? Ответ дайте в ньютонах, округлите до целого.

При смешивании карбоната натрия (соды) массой \(m_1\) и пресной воды массой \(m_2\) получается солевой раствор. Если процентное содержание соды в растворе, равное \(\alpha = \dfrac{m_1}{m_1+m_2}\), принимает значения от 1% до 14%, то плотность раствора карбоната натрия можно рассчитать, воспользовавшись приближенной формулой \[\rho = \rho_0\,(1 + \alpha)\,,\] где \(\rho_0\) плотность пресной воды, равная \(1{,}0\) г/см\(^3\). В цилиндрическом сосуде находится водный раствор карбоната натрия плотностью \(1{,}12\) г/см\(^3\), уровень которого расположен на высоте \(15{,}0\) см от дна сосуда. В раствор добавляют некоторое количество льда, при этом уровень жидкости в сосуде поднялся на \(5{,}0\) см. Когда лёд растаял, жидкость перемешали, и процентное содержание карбоната натрия в растворе уменьшилось. Найдите плотность получившегося раствора. На какой высоте расположен уровень раствора в сосуде?