Насыпная плотность песка

Оцените, какая доля объёма насыпи занята веществом песчинок, если считать их шариками одного радиуса, уложенными в куб.

Песчинки представляют собой маленькие кусочки двуокиси кремния неправильной формы. Поэтому насыпная плотность песка зависит от степени его «уплотнения», когда «неправильности» песчинок находят друг друга, и насыпная плотность песка может приближаться к истинной. Если же никаких специальных усилий по уплотнению песка не предпринимается, между песчинками остаются пустоты, и его насыпная плотность может быть значительно меньше истинной. Оценим насыпную плотность. Будем для оценки считать, что песчинки представляют собой шарики радиуса \(r\). Конечно, это предположение неверно, однако промежутки между песчинками неправильной формы без специальных усилий по уплотнению песка в каких-то случаях больше, в каких-то — меньше, чем пустоты между шариками, и предположение о круглой форме песчинок для вычисления объёма пустот разумно.

Пусть песок заполняет куб с ребром \(a\). Тогда в кубе содержится \(N\sim\left(a/2r\right)^3\) песчинок, имеющих суммарный объём \[V = N\,\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{1}{6}\pi a^3 .\] Поэтому масса песка в объёме куба равна \[m = \rho_0 V = \frac{1}{6}\pi\rho_0 a^3 ,\] где \(\rho_0\) — истинная плотность песка. Отсюда находим насыпную плотность песка как отношение массы песка в объёме куба к его объёму: \[\rho = \frac{m}{a^3} = \frac{1}{6}\pi\rho_0 \approx \frac{1}{2}\rho_0 = 1300\ \text{кг/м}^3 .\] Как следует из этой формулы, насыпная плотность приблизительно вдвое меньше истинной и не зависит от размера песчинок.