Мяч вверх с сопротивлением воздуха

При \(v=10v_0\) сила сопротивления равна весу мяча. Посчитайте, какую долю механической энергии теряет мяч при подъёме на высоту \(h=v_0^2/2g\).

Если бы сила сопротивления воздуха не действовала, то времена подъёма и спуска были бы одинаковы. При действии силы сопротивления воздуха механическая энергия мяча уменьшается, и, следовательно, на одной и той же высоте на подъёме мяч имеет большую скорость, чем на спуске. Поэтому время подъёма меньше времени спуска.

Поскольку установившаяся скорость падения мяча гораздо больше скорости, с которой он движется в нашем опыте, движение мяча является «почти равноускоренным». Поэтому для оценки используем законы равноускоренного движения.

Сначала найдём силу сопротивления воздуха. По условию сила сопротивления пропорциональна скорости мяча \(F_c=kv\) (где \(k\) — некоторый коэффициент пропорциональности) и при \(v=10v_0\) совпадает с весом мяча. Поэтому \[mg = 10kv_0 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{mg}{10v_0} .\] Теперь параметры движения. Высота подъёма практически равна величине \(h=\dfrac{v_0^2}{2g}\), а время подъёма \(t_{под}=\dfrac{v_0}{g}\).

Средняя сила сопротивления воздуха, действующая на тело на этом пути, определяется соотношением \[F_c = kv_{ср} = k\,\frac{v_0}{2} = \frac{mg}{20} ,\] где \(v_{ср}=v_0/2\) — средняя скорость тела на подъёме. Во время подъёма сила сопротивления совершает работу \[A_{сопр} \sim -F_c h = -\frac{1}{20}\,\frac{mv_0^2}{2} .\] Это значит, что механическая энергия мяча уменьшилась на одну двадцатую. Поэтому средняя скорость мяча на спуске определяется соотношением \[v_{ср} = \frac{v_0}{2}\sqrt{1-\frac{1}{20}} .\] Поэтому оценка отношения времени подъёма к времени спуска имеет вид \[\frac{t_{под}}{t_{спус}} = \frac{1}{\sqrt{1-1/20}} = \sqrt{\frac{20}{19}} \approx 1+\frac{1}{40} .\]