Треугольник из шести металлических частей

Подумайте, как соотносятся площади шести частей, на которые медианы делят треугольник. Тогда средняя плотность зависит только от того, сколько частей сделано из каждого металла.

Легко доказывается, что медианы делят треугольник на 6 равновеликих частей. Поэтому средняя плотность равна «среднему арифметическому» плотностей используемых металлов: \[\bar\rho = \frac{m}{S} = \frac{\sum_{i=1}^{6} \rho_i \dfrac{S}{6}}{S} = \frac{\sum_{i=1}^{6} \rho_i}{6}.\] Так как все виды металлов были использованы по два раза, средняя плотность получившегося треугольника принимает только одно возможное значение \(\bar\rho = \dfrac{11{,}40 + 8{,}96 + 7{,}60}{3} = 9{,}32\) г/см\(^3\).

Если каждый металл нужно использовать не меньше одного раза, то возможных вариантов с различной средней плотностью 10 (каждое число в фигурных скобках соответствует количеству частей треугольника определённой плотности): \(\{4, 1, 1\}\) "— три варианта, \(\{2, 2, 2\}\) "— один вариант, \(\{3, 2, 1\}\) "— шесть вариантов. \[\bar\rho_{\min} = \frac{4\cdot 7{,}6 + 8{,}96 + 11{,}4}{6} = 8{,}46\text{ г/см}^3,\] \[\bar\rho_{\max} = \frac{4\cdot 11{,}4 + 7{,}6 + 8{,}96}{6} = 10{,}36\text{ г/см}^3.\]