Дифракция на фазовых структурах

IPhO 2023/24, 11 кл.

5/10

Чтобы достать установку, необходимо открутить белые пластиковые крепежные стержни в направлении, указанном сверху. Вытаскивайте основную платформу из коробки, как показано на рисунке 3. После этого снимите красные резинки, указанные на рисунке 2, и поочередно извлеките остальные компоненты из коробки. Для извлечения приборов держите их за металлические части или за внешнюю поверхность.

Установка (подробно):

1. Основная платформа экспериментальной установки. Её компоненты:

(a) Горизонтальное основание.

(b) Белый вращающийся транспортир: его можно вращать с помощью белой пластиковой ручки рядом с ним. Для определения угла используйте нулевую метку на металлической пластине (см. рис. 4-1).

(d) Красный лазер и (e) выпуклая линза для увеличения дифракционной картины, установленные на стенках с двух сторон платформы: их высоту можно регулировать, поворачивая ручки вверху.

(f) Четыре выступа внутри транспортира для фиксации держателей стеклянных деталей.

2. Держатели S1 (2.1) и S2 (2.2): каждый держатель имеет в основании круглую металлическую пластину. Четыре выступа (f) фиксируют держатель. Держатель S1 включает в себя черную деталь, которая удерживает тонкую стеклянную пластинку. Нижний край тонкой стеклянной пластинки полностью свободен, и на него можно светить лазером. Держатель S2 полностью аналогичен S1, с той лишь разницей, что в него помещается толстая стеклянная пластинка.

3. Экран для наблюдения: его можно разместить на любом расстоянии от установки.

4. Контейнер с неизвестной жидкостью: после удаления защитной клейкой бумаги его можно поместить на прямоугольные отверстия в центре транспортира (рис. 4-1c).

5. Розовая жидкость: в бутылке на вашем столе, с неизвестным коэффициентом переломления.

6. Монтажная плата лазера: Подключите лазер к плате, а плату – к блоку питания. Кнопка «Вкл/Выкл» на плате включает/выключает лазер. Поворачивая ручку регулятора тока на электронной плате, установите интенсивность лазерного излучения на комфортный для ваших глаз уровень.

7. Блок питания (power bank) и электрические кабели.

Обратите внимание на следующее:

1. Не прикасайтесь к стеклянным линзам и пластинам, потому что ваши отпечатки пальцев могут повлиять на результаты эксперимента. Стеклянные пластинки довольно тонкие и могут легко сломаться.

2. Не пейте неизвестную жидкость.

3. Не смотрите прямо в лазер.

Теория

Когда лазерный луч светит на край прозрачной стеклянной пластины, возникает разность фаз между той частью, которая проходит через стекло, и той, которая не проходит. Эта разность фаз приводит к появлению дифракционной картины, линии которой параллельны краю слайда (см. рисунок 5).

Теоретическая дифракционная картина

Дифракционная картина, наблюдаемая в лаборатории

Примем направление луча за направление \(z\) (см. рисунок 6) и сначала предположим, что слайд находится в плоскости и его горизонтальный край совпадает с осью (т.е. угол на рисунке 6 равен нулю). В этом случае разность фаз между двумя частями луча явно равна: \[\phi_{0}=\frac{2\pi h}{\lambda}\left(n-N\right) \qquad(1)\] где \(h\) – толщина пластины, \(\lambda\) – длина волны лазерного луча, \(N\) – показатель преломления окружающей среды, а \(n\) показатель преломления пластины.

Схема лазерного луча, стеклянной пластинки и экрана

При повороте стеклянной пластинки вокруг оси \(y\) так, чтобы нормаль к поверхности пластинки составляла угол \(\theta\) с падающим лучом, разность фаз вычисляется по формуле: \[\phi=\frac{2 \pi h}{\lambda}\left(\sqrt{n^{2}-N^{2} \sin ^{2} \theta}-N \cos \theta\right) \qquad(2)\] Следовательно, разность фаз является функцией \(\theta\). Если плавно изменять этот угол, то разность фаз будет непрерывно увеличиваться и форма изображения меняться. Когда разность фаз достигнет \(2 \pi\), интерференционная картина возвратится к исходной форме. Назовём этот полный цикл одним сдвигом линий. На рисунке 7 показаны различные этапы одного сдвига линий.

Различные стадии сдвига линий, как видно на экране в лаборатории и как предсказано теоретически (слева направо, разности фаз на картинках составляют соответственно \(\varphi\), \(\varphi+4 \pi / 9\), \(\varphi+6 \pi / 9\), \(\varphi+10 \pi / 9\), \(\varphi+14 \pi / 9\) и \(\varphi+2 \pi\)).

Мы можем начать с \(\theta = 0\) и постепенно увеличивать угол . После \(m\) таких сдвигов линий, соответствующих повороту на \(\theta = \theta_m\), мы получим:

\[\phi = \frac{2\pi h}{\lambda} \left( \sqrt{m^{2}-N^{2} \sin^{2}\theta_{m}} - N\cos\theta_{m}\right)=2\pi m+\phi_{0} \qquad(3)\]или\[m = \frac{h}{\lambda} \left( \sqrt{m^{2}-N^{2} \sin^{2}\theta_{m}} - N\cos\theta_{m}\right) - \frac{\phi_0}{2\pi} \qquad(3)\]

Важное замечание:

1. Погрешности нужно указывать только тогда, когда знак \(\pm\) присутствует в листе ответов.

2. Для нахождения коэффициента наклона и свободного члена графиков воспользуйтесь выданным калькулятором.

3. Примечание: Коэффициент корреляции (обозначается \(\mathrm{reg}\) в условии и как \(r\) на калькуляторе) это число от \(1\) до \(-1\), показывающее, насколько хорошо данные могут быть описаны линейной зависимостью. Если \(|\mathrm{reg}|=1\), это означает, что данные полностью лежат на прямой. После вычисления коэффициента наклона (\(B\)) и свободного члена (\(A\)) с помощью калькулятора, используйте приведенные ниже формулы для расчета их погрешности: \[\Delta B=B \sqrt{\frac{1}{({n}-2)}\left(\frac{1}{r^{2}}-1\right)}, \quad \Delta A=\Delta B \sqrt{\overline{x^{2}}}\] где \(n\) – количество полученных точек данных, а \(\overline{x^{2}}\) – среднее квадратическое значение \(x\). Для расчёта погрешностей углового коэффициента и свободного члена линейной зависимости вы всегда должны использовать приведённые формулы.

Часть А. Толщина тонкой стеклянной пластинки (S1) (2.0 балла)

Для следующих пунктов возьмите показатель преломления стеклянных пластин (S1, S2) равным \(1.51\) а показатель преломления воздуха равным \(1.00\). Длина волны красного лазера равна \(650~ нм\). Погрешностью данных величин пренебрегите.

Включите лазер. Поместите держатель S1 на транспортир и отрегулируйте высоту лазера так, чтобы он светил на нижний край стеклянной пластинки. Затем отрегулируйте высоту объектива так, чтобы вы могли наблюдать дифракционную картину на экране (эта высота должна быть почти равна высоте лазерного луча). Обратите внимание, что линии на дифракционной картине расположены горизонтально. На рисунке 8 показана экспериментальная установка для части А. Теперь медленно поворачивайте транспортир и наблюдайте за смещением линий.

Экспериментальная установка в работе (часть А)

A1. Проворачивайте транспортир от \(0\) до \(70\) градусов. Наблюдайте за количеством сдвигов линий и запишите угол \(\theta\), соответствующий каждому номеру сдвига линий. Проведите измерения не менее чем для 25 точек и заполните таблицу.

A2. Постройте соответствующий график.

A3. Найдите коэффициент наклона (\(A\)) и свободный член (\(B\)).

A4. Используя коэффициент наклона, найдите толщину тонкой пластинки.

Часть B. Толщина толстой стеклянной пластинки (S2) (1.6 балла)

B1. Повторите задание A1 для \(\theta\) от \(0\) до \(20\) градусов и снимите не менее 15 точек.

B2. Предполагая, что в уравнении \((4)\) \(\theta_m\) достаточно мал, разложите уравнение до порядка малости \(\theta_m^2\) и найдите линейную зависимость между числом сдвига линий \(m\) и \(\theta_m^2\) (считайте \(N = 1.00\)).

B3. Постройте соответствующий график.

B4. Найдите коэффициент наклона и свободный член.

B5. Используя коэффициент наклона, найдите толщину толстой пластинки.

Часть С. Нахождение \(N\) с помощью толстой стеклянной пластинки (S2) (1.6 балла)

Налейте неизвестную жидкость в контейнер. Поместите контейнер в центр транспортира и аккуратно установите держатель S2 обратно на транспортир таким образом, чтобы толстая стеклянная пластинка была погружено в жидкость. Отрегулируйте высоту лазера и стеклянной пластинки так, чтобы лазерный луч светил на границу между ней и окружающей жидкостью. На экране снова будет наблюдаться дифракционная картина.

C1. Повторите задание B1 (15 точек от \(0\) до \(20\) градусов).

C2. Повторите задание В2 для произвольного \(N\).

C3. Постройте соответствующий график.

C4. Найдите коэффициент наклона и свободный член.

C5. Найдите показатель преломления неизвестной жидкости (\(N\)).

Часть D. Нахождение \(N\) с помощью тонкой пластинки (S1) (4.8 балла)

Поместите держатель S1 вместо S2 в неизвестную жидкость.

D1. Повторите задание A1 для этого случая (25 точек данных от \(0\) до \(70\) градусов).

D2. Выполните простые вычисления и исключите \(\phi_0\) из уравнений \((1)\) и \((4)\). Затем получите соотношение вида \(N(n-N) + u N = w\). Найдите \(u\) и \(w\) в терминах \(n\), \(m\), \(h\), \(\lambda\) и \(\theta\).

D3. С помощью калькулятора вычислите \(u\) и \(w\).

D4. Постройте график зависимости \(w\) от \(u\).

D5. Для линейной области на предыдущем графике вычислите наклон и свободный член.

D6. Найдите показатель преломления, сначала используя коэффициент наклона \((N_B)\), а затем с помощью свободного члена \((N_A)\).

▶Показать разборСкрыть разбор

Ответ

A3: \[B = 229.1,\quad A = -116.8\]; A4: \[h=(148.9 \pm 0.1) ~мкм\]; B2: \[m=\frac{H}{2 \lambda}\left(1-\frac{1}{n}\right) \theta_{m}^{2}\]; B5: \[H=(1.061 \pm 0.004) ~{мм}\]; C2: \[m=\frac{H}{2 \lambda}\left(N-\frac{N^{2}}{n}\right) \theta_{m}^{2}\]; C4: \[B = 128.0,\quad A = −0.50\]; C5: \[N=1.332 \pm 0.002\]; D2: \[u=\frac{m \lambda}{h},\quad {w}=\frac{\frac{m \lambda}{h}\left(n+\frac{m \lambda}{2 h}\right)}{1-\cos \theta_{m}}\]; D5: \[B=1.337,\quad A=0.2372\]; D6: \[N_{B}=(1.337 \pm 0.005),\quad N_{A}=(1.3319 \pm 0.0005)\]

Решение

A1. Ответ:

\(n\)	\(m\)	\(\theta_{m},~{}^\circ\)	\(\sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \theta_{m}}-\cos \theta_{m}\)
1	1	9.00	0.5142
2	2	13.00	0.5188
3	3	15.75	0.5229
4	4	18.00	0.5270
5	5	20.50	0.5322
6	6	22.25	0.5362
7	7	24.00	0.5406
8	9	27.00	0.5491
9	11	29.75	0.5579
10	13	32.25	0.5668
11	16	35.50	0.5798
12	19	38.50	0.5931
13	21	40.25	0.6015
14	23	42.00	0.6105
15	26	44.25	0.6228
16	29	46.75	0.6375
17	31	48.00	0.6453
18	36	51.25	0.6671
19	41	54.25	0.6891
20	46	57.00	0.7110
21	51	59.50	0.7325
22	56	62.00	0.7555
23	61	64.00	0.7750
24	66	66.25	0.7982
25	71	68.25	0.8200
26	75	69.75	0.8371

A2. Ответ:

A3. Ответ:

\[B = 229.1,\quad A = -116.8\]

A4. Ответ:

\[h=(148.9 \pm 0.1) ~мкм\]

B1. Ответ:

\(n\)	\(m\)	\(\theta_{m},~{}^\circ\)	\(\sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \theta_{m}}-\cos \theta_{m}\)
1	1	2.50	0.00190
2	2	4.25	0.00550
3	3	5.50	0.00921
4	4	6.50	0.01287
5	5	7.25	0.01601
6	6	8.25	0.02073
7	8	9.50	0.02749
8	10	10.75	0.03520
9	12	11.75	0.04206
10	15	13.25	0.05348
11	18	14.50	0.06405
12	20	15.25	0.07084
13	22	16.00	0.07798
14	25	17.00	0.08803
15	29	18.50	0.10426
16	31	19.00	0.10997
17	33	19.75	0.11882

B2. \[\begin{gathered} m=\frac{H}{\lambda}\left(\sqrt{n^{2}-N^{2} \sin ^{2} \theta_{m}}-N \cos \theta_{m}\right)-\frac{H}{\lambda}(n-N) \\~\\ \theta_{m} \ll 1\implies \sin \theta_{m} \approx \theta_{m} ,~ \cos \theta_{m} \approx 1-\frac{\theta_{m}^{2}}{2} \\~\\ m=\frac{H}{\lambda}\left(n \sqrt{1-\frac{N^{2} \theta_{m}^{2}}{n^{2}}}-N\left(1-\frac{\theta_{m}^{2}}{2}\right)\right)-\frac{H}{\lambda}(n-N) \\~\\ m=\frac{H}{\lambda}\left(n\left(1-\frac{N^{2} \theta_{m}^{2}}{2 n^{2}}\right)-N\left(1-\frac{\theta_{m}^{2}}{2}\right)\right)-\frac{H}{\lambda}(n-N) \\~\\ m=\frac{H}{2 \lambda} N\left(1-\frac{N}{n}\right) \theta_{m}^{2} \end{gathered}\]Итого, при \(N=1\):

Ответ:

\[m=\frac{H}{2 \lambda}\left(1-\frac{1}{n}\right) \theta_{m}^{2}\]

B3. Ответ:

B4. \(B = 275.7\)

\(A =0.43\)

B5. Ответ:

\[H=(1.061 \pm 0.004) ~{мм}\]

C1. Ответ:

\(n\)	\(m\)	\(\theta_{m},~{}^\circ\)	\(\theta_{m}^{2},~рад^2\)
1	1	5.75	0.01007
2	2	7.75	0.01830
3	3	9.50	0.02749
4	4	10.75	0.03520
5	5	12.00	0.04386
6	6	13.00	0.05148
7	7	14.00	0.05971
8	8	14.75	0.06627
9	9	15.75	0.07556
10	10	16.50	0.08293
11	11	17.25	0.09064
12	12	18.00	0.09870
13	13	18.50	0.10426
14	14	19.25	0.11288
15	15	19.75	0.11882

C2. Ответ:

\[m=\frac{H}{2 \lambda}\left(N-\frac{N^{2}}{n}\right) \theta_{m}^{2}\]

C3. Ответ:

C4. Ответ:

\[B = 128.0,\quad A = −0.50\]

C5. Ответ:

\[N=1.332 \pm 0.002\]

Нахождение погрешности:\[\begin{gathered} B=\frac{H}{2 \lambda}\left(N-\frac{N^{2}}{n}\right) \implies \left(N-\frac{N^{2}}{n}\right)=\frac{2 \lambda}{H} B \equiv c \\ \implies\frac{\Delta c}{c}=\sqrt{\left(\frac{\Delta B}{B}\right)^{2}+\left(\frac{\Delta H}{H}\right)^{2}} \\ \left(N-\frac{N^{2}}{n}\right)=c \implies N=\frac{n}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{n}{2}\right)^{2}-c n} \end{gathered}\] Следует использовать минус: \[N=\frac{n}{2}+\sqrt{\left(\frac{n}{2}\right)^{2}-c n} \implies\Delta N=\frac{n}{2 \sqrt{\left(\frac{n}{2}\right)^{2}-c n}} \Delta c\]

D1.

\(n\)	\(m\)	\(\theta_{m},~{}^\circ\)	\(u\)	\(w\)
1	1	13.25	0.00436	0.24795
2	2	19.00	0.00873	0.24265
3	3	23.00	0.01309	0.24981
4	4	26.00	0.01746	0.26200
5	5	29.00	0.02182	0.26474
6	6	31.50	0.02619	0.27069
7	7	33.75	0.03055	0.27653
8	8	35.75	0.03492	0.28307
9	10	39.25	0.04365	0.29637
10	12	42.25	0.05238	0.30973
11	15	46.25	0.06547	0.32743
12	18	50.00	0.07857	0.34076
13	20	52.00	0.08730	0.35289
14	22	53.75	0.09603	0.36608
15	25	56.25	0.10912	0.38415
16	28	58.50	0.12222	0.40213
17	30	60.00	0.13095	0.41261
18	32	61.25	0.13968	0.42517
19	35	63.25	0.15277	0.44072
20	38	65.00	0.16587	0.45761
21	40	66.00	0.17460	0.47008
22	42	67.00	0.18333	0.48193
23	44	68.00	0.19205	0.49320
24	46	68.75	0.20078	0.50715
25	48	69.75	0.20951	0.51739

D2. \[\begin{gathered} m=\frac{h}{\lambda}\left(\sqrt{n^{2}-N^{2} \sin ^{2} \theta_{m}}-N \cos \theta_{m}\right)-\frac{h}{\lambda}(n-N) \\ \frac{m \lambda}{h}+n-N\left(1-\cos \theta_{m}\right)=\sqrt{n^{2}-N^{2} \sin ^{2} \theta_{m}} \\ \left(\frac{m \lambda}{h}\right)^{2}+2 n\left(\frac{m \lambda}{h}\right)+n^{2}+N^{2}\left(1-\cos \theta_{m}\right)^{2}-2 N\left(1-\cos \theta_{m}\right)\left(\frac{m \lambda}{h}+n\right)=n^{2}-N^{2} \sin ^{2} \theta_{m} \\ \left(\frac{m \lambda}{h}\right)^{2}+2 n\left(\frac{m \lambda}{h}\right)+N^{2}\left(2-2 \cos \theta_{m}\right)-2 N n\left(1-\cos \theta_{m}\right)-2 N\left(1-\cos \theta_{m}\right)\left(\frac{m \lambda}{h}\right)=0 \\ \frac{\frac{m \lambda}{h}\left(n+\frac{m \lambda}{2 h}\right)}{1-\cos \theta_{m}}+N^{2}-N n-N\left(\frac{m \lambda}{h}\right)=0 \\ \frac{\frac{m \lambda}{h}\left(n+\frac{m \lambda}{2 h}\right)}{1-\cos \theta_{m}}=N(n-N)+\left(\frac{m \lambda}{h}\right) N \\ w=N(n-N)+u N \end{gathered}\]

Ответ:

\[u=\frac{m \lambda}{h},\quad {w}=\frac{\frac{m \lambda}{h}\left(n+\frac{m \lambda}{2 h}\right)}{1-\cos \theta_{m}}\]

D3.

D4. Ответ:

D5. Ответ:

\[B=1.337,\quad A=0.2372\]

D6. Ответ:

\[N_{B}=(1.337 \pm 0.005),\quad N_{A}=(1.3319 \pm 0.0005)\]

Нахождение погрешности: \[N_{A}\left(n-N_{A}\right)=A \Rightarrow N_{A}=\frac{n}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{n}{2}\right)^{2}-A}\] Следует использовать знак минус: \[N_{A}=\frac{n}{2}+\sqrt{\left(\frac{n}{2}\right)^{2}-A} \implies\Delta N_{A}=\frac{\Delta A}{2 \sqrt{\left(\frac{n}{2}\right)^{2}-A}}\] Разумеется, это вычисления игнорируют погрешности \(u\) и \(w\). Поскольку \(u\) и \(w\) зависят от \(h\), погрешность \(h\) приводит к погрешности в этой величине, которая не учитывается.

Перевод: pho.rs.

Вся олимпиада на сайте

в вариантСтраница задачиОшибка в задаче?

Дифракция на фазовых структурах

Дифракция на фазовых структурах

Похожие задачи