Теплопроводность в медном стержне

Экспериментальная установка

В этом эксперименте используется медный стержень длиной \(57.0~ см\) и диаметром \(1.20~ см\), помещённый внутрь металлического ящика, опирающегося на квадратные фланцы (рис. 1). Металлический ящик служит для изоляции потока воздуха внутри.

Рис. 1. Общий вид экспериментального оборудования

Как показано на рисунке 2, по \(7.0~ см\) с каждого конца стержня изолированы пенополистиролом. В стержне просверлено семь отверстий на равных расстояниях по \(7.0~ см\). Глубина отверстий равна \(0.6~ см\), и в каждое из них помещен датчик температуры (терморезистор). Эти датчики пронумерованы от 1 до 7 слева направо. Аналогичный датчик под номером 8 помещен внутрь металлического ящика для измерения его температуры (обозначена \(\theta_\mathrm b\)).

Рис. 2. Медный стержень и просверленные отверстия

На двух концах стержня в просверленных продольно отверстиях длиной \(5.2~ см\) установлены два электрических нагревателя с разной мощностью. Левый и правый нагреватели пронумерованы как №2 и №3 соответственно. Четыре вентилятора в верхней части металлического ящика используются для создания потока воздуха внутри ящика и вокруг стержня. Эти вентиляторы, а также медный стержень видны снизу ящика, как показано на рисунке 3.

Рис. 3. Вид снизу

Спереди установлена панель управления AVA-T403. На этой панели находятся все переключатели для управления различными компонентами установки: вентиляторами, нагревателями, секундомером и т.д. На мониторе панели управления отображаются все измерения, сделанные датчиками. Питание, необходимое для работы всех приборов, обеспечивается блоком питания \(24~ В\), подключенным к розетке. Он находится рядом с металлическим ящиком.

Справа от панели управления установлен меньший медный стержень длиной \(12.0~ см\), который также обёрнут пенополистиролом. В продольное отверстие справа вставлен нагреватель №1 с выходной мощностью \(1 . 95 \pm 0 . 06~ Вт\), как показано на рис. 4. На другом конце просверлено еще одно продольное отверстие, в которое вставлен терморезистор PT100 (платиновый термометр-100), а также аналогичный восьми другим датчикам температуры терморезистор R9. Эти два датчика и нагреватель подключены к AVA, и AVA показывает значения их сопротивления (в омах).

Рис. 4. Медный стержень меньшего размера

Обратите внимание на следующие моменты:

1. Не прикасайтесь к кнопкам на оборудовании и не приводите их в действие до тех пор, пока этого явно не просят в условии.

2. Вам не нужно делать с установкой ничего, помимо указанного в условии. Будьте осторожны, чтобы не нарушить её состояние и не отсоединить провода.

3. Не перемещайте установку во время эксперимента.

4. Если на мониторе появится сообщение «Turn off Heater1», немедленно выключите нагреватель №1.

5. Включение нагревателей приводит к повышению температуры, поэтому системе потребуется дополнительное время для достижения равновесного состояния. Не включайте нагреватели без необходимости.

6. Вычисление погрешностей требуется для тех значений, напротив которых в листах ответов присутствует знак \(\pm\).

7. Коэффициент корреляции (обозначается \(\mathrm{reg}\) в условии и \(r\) на калькуляторе) – это число от \(1\) до \(-1\), показывающее, насколько хорошо данные могут быть описаны линейной зависимостью. Если \(\mathrm{reg}=1\), это означает, что данные полностью лежат на прямой.

   Для расчёта погрешности углового коэффициента b линейной зависимости вы всегда должны использовать формулу:\[\Delta b=b\sqrt{\frac{1}{n-2}\left(\frac{1}{\mathrm{reg}^2}-1\right)},\]где \(n\) – число экспериментальных точек.

Оборудование

1. Резисторы могу вести себя по-разному в ответ на изменение температуры. Одним из широко используемых резисторов является PT100, сопротивление которого ведёт себя линейно в значительном диапазоне температур, т.е.:\[R=R_0(1+\alpha\theta),\qquad(1)\]где \(R_0\) – значение сопротивления при \(0\,{}^\circ\mathrm C\), \(\alpha\) – постоянный коэффициент (в диапазоне температур данной задачи), а \(\theta\) – температура в градусах Цельсия. Значение \(\alpha\) для резистора, используемого в этой задаче, равно \(0.0039083 \,{}^\circ\mathrm C^{-1}\). Для PT100, \(R_0=100.00~ Ом\).

2. Терморезисторы с 1 по 9 ведут себя нелинейно в ответ на изменение температуры и обычно используются для измерения небольших изменений температуры. Сопротивление этих терморезисторов изменяется с температурой следующим образом:\[R'=R'_0\exp\left[\frac{E_\mathrm g}{2k_\mathrm BT}\right].\qquad(2)\]Здесь \(R'_0\) – постоянная величина, \(k_\mathrm B=8.61733\cdot10^{-5}~ эВ/К\) – постоянная Больцмана, \(T\) – температура в кельвинах, а \(E_\mathrm g\) – так называемая ширина запрещённой зоны полупроводникового материала терморезистора. Напоминаем, что \(T=(\theta+273.15)~К\).

3. Цифровое устройство AVA было разработано иранскими инженерами специально для этого эксперимента. AVA измеряет мгновенные сопротивления терморезисторов с 1 по 9 и PT100 каждые две секунды. Затем, основываясь на формуле (2), оно выводит на экран температуру этих датчиков, кроме терморезистора №9, для которого отображается только значение сопротивления. Слева на мониторе AVA в столбик отображаются температуры датчиков с 1 по 7. В последней строке отображается либо температура датчика 8, либо сопротивление датчика 9 (\(R_9\)). Вы можете переключаться между этими двумя значениями, нажимая кнопку \(\theta_\mathrm b-R_9\) показанную на рисунке 5.

   В AVA также есть секундомер, который работает так же, как и любой его привычный аналог: при нажатии кнопки Start/Stop секундомер начинает измерять прошедшее время, а повторное нажатие кнопки Start/Stop останавливает отсчёт. Во время работы секундомера нажатие кнопки Lap приводит к сохранению всех отображаемых значений. При нажатии на ту же кнопку, когда секундомер не работает, показания сбрасываются, однако сохраненные данные не стираются. Чтобы стереть данные, необходимо нажать и удерживать кнопку Lap/Reset в течение 5 секунд.

   Сохраненные данные можно просмотреть, повторно нажав кнопку Next/Prev: нажатие Prev показывает предыдущее значение, нажатие Next – следующее. Все сохраненные данные удаляются при выключении и включении устройства. Устройство не выключается автоматически.

4. Как показано на рисунке 5, на панели AVA есть один переключатель для включения и выключения вентиляторов, а также три переключателя для включения нагревателей. Значок каждого переключателя находится под ним. Мощность первого нагревателя равна \(1.95~ Вт\), мощность второго нагревателя указана на устройстве (см. рис. 6), а мощность третьего нагревателя неизвестна.

Рис. 5. Кнопки Start/Stop и Lap (подробная информация о функциях кнопок приведена в пункте 3)

Рис. 6. Мощность второго нагревателя

Теория

В этой задаче тепло передается внутри стержня посредством теплопроводности, а от стержня к окружающему воздуху – посредством естественной или принудительной конвекции. Кроме того, из-за теплоемкости стержня часть тепла, попадающего в стержень, уходит на повышение его температуры.

(a) Теплопроводность: для проводящего тепло материала в форме стержня скорость теплопередачи \(\mathrm dQ/\mathrm dt\) через малый участок (рис. 7) без потерь тепла на боковой поверхности в установившемся режиме выглядит следующим образом:\[\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}=-kA\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dx},\qquad(3)\]где \(\mathrm d\theta\) – разность температур между двумя краями дифференциального элемента, \(A\) – площадь поперечного сечения, \(\mathrm dx\) – длина рассматриваемого малого участка, а \(k\) – коэффициент теплопроводности, который зависит от типа материала, из которого изготовлен стержень.

Рис. 7. Теплопроводность в малом участке стержня (без учёта конвекции)

(b) Конвекция: Для любого объекта, обменивающегося теплом с воздухом через свою боковую поверхность, справедливо следующее соотношение:\[\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}=-hS\Delta\theta,\qquad(4)\]где \(S\) – площадь боковой поверхности, \(\Delta\theta\) – разность температур между объектом и окружающим воздухом, а \(h\) – коэффициент конвективной теплопередачи, который зависит от формы объекта и характера теплового потока через боковые поверхности объекта.

Эксперимент

Чтобы сэкономить время, мы рекомендуем вам включить нагреватель 2 и вентиляторы, которые понадобятся в части B. Убедитесь, что другие нагреватели при этом выключены.

Часть A. Короткий медный стержень (3.9 балла)

A0. Запишите цифры от 0 до 9 в таблицу.

Перед включением нагревателя 1 маленький стержень имеет ту же температуру, что и окружающая среда. Пункты A1 – A3 относятся к процессу нагревания, а пункты A4 – A7 – к процессу охлаждения стержня.

A1. Запишите начальное значение сопротивления \(R_\mathrm{env}\) для PT100, когда он находится при температуре окружающей среды. Используя уравнение \((1)\), вычислите эту температуру.

Обозначим суммарную теплоемкость стержня, нагревателя и датчиков как \(C_S\). Чтобы найти \(C_S\), необходимо включить нагреватель 1 и измерять значения сопротивления в течение не менее 150 секунд. Обратите внимание, что нагрев и охлаждение датчиков происходят с временной задержкой.

A2. Через промежутки времени примерно в 10 секунд записывайте значение \(R\). Проделайте это не менее 15 раз.

A3. Постройте график снятой в пункте A2 зависимости, проведите по точкам прямую и найдите её угловой коэффициент. Из углового коэффициента найдите \(C_S\).

Подождите, пока значение \(R\) не достигнет \(120~Ом\), а затем выключите нагреватель 1. Через несколько секунд температура стержня и сопротивление \(R\) начнут медленно уменьшаться. Когда PT100 остывает, его сопротивление определяется по формуле:\[R-R_\mathrm{env}=A\mathrm e^{-\gamma t},\qquad(5)\]где \(A\) и \(\gamma\) – некоторые постоянные.

A4. Снимите зависимость от времени величины \(R-R_\mathrm{env}\).

A5. Постройте на миллиметровке в листах ответов полулогарифмический график зависимости, снятой вами в пункте A4. Вычислите отсюда \(\gamma\).

Благодаря изолятору, который обёрнут вокруг стержня, резисторы быстрее достигают теплового равновесия, а стержень имеет более равномерный температурный профиль.

A6. Измерьте и запишите сопротивление \(R_9\) терморезистора 9, выраженное в единицах \(R\). Проведите измерение не менее чем при семи различных значениях \(R\) в диапазоне \(114-120~Ом\).

A7. Постройте полулогарифмический график зависимости \(R_9\) от \(1/T\) на миллиметровке в листах ответов и вычислите по нему ширину запрещённой зоны \(E_\mathrm g\) в электронвольтах (эВ).

Часть B. Длинный медный стержень (4.1 балла)

Прежде чем приступать к этой части, дождитесь, когда стержень достигнет равновесного состояния, то есть когда измеренные температуры во всех точках будут постоянными. Обозначим температуры терморезисторов 1 – 7 как \(\theta_1\)–\(\theta_7\) соответственно. Положение терморезистора 1 соответствует \(x=0\).

.

B1. Когда стержень достигнет равновесного состояния, измерьте и запишите температуру \(\theta_\mathrm b\), а также температуры \(\theta_x\) семи точек на стержне.

Чтобы сэкономить время, сначала ознакомьтесь с частью C, а затем продолжите часть B.

B2. Постройте на миллиметровке в листах ответов полулогарифмический график зависимости разности между температурой в точке \(x\) и температурой в ящике, \(\theta_x-\theta_\mathrm{b}\), от положения \(x\) вдоль стержня.

Можно показать, что зависимость температуры от расстояния \(x\) до нагревателя 2 описывается следующим соотношением:\[\theta_x=\theta_\mathrm b+A\mathrm e^{-\lambda x}+B\mathrm e^{\lambda x},\qquad(6)\]где \(\theta_\mathrm b\) – температура воздуха в ящике, \(A\) и \(B\) – некоторые постоянные, а \(\lambda=\sqrt{2h/kr}\), где \(r\) – радиус стержня. В первом приближении можно проигнорировать точки с большими значениями \(x\), и принять \(B\) равным нулю. В этом случае мы можем в первом приближении найти \(\lambda\) и \(A\), назовем их \(\lambda^0\) и \(A^0\).

B3. Используя температуры \(\theta_1\)–\(\theta_5\) и график из пункта B2, найдите \(\lambda^0\) и \(A^0\).

Температура на самом дальнем от нагревателя конце стержня \(x=d\) не меняется при малом изменении \(x\). Это можно использовать для определения \(B\) при известных \(\lambda\), \(A\) и \(d\).

B4. Выразите \(B\) через \(\lambda\), \(A\) и \(d\). Используя результаты пункта B3, вычислите \(B\) при \(d= 44 . 0 ~см\). Обозначим полученное значение как \(B^1\).

Теперь мы можем использовать полученное значение \(B\) для уточнения предыдущих расчётов. Для этого введём величины:\[\theta'_x=\theta_x-B^1\mathrm e^{\lambda^0x}.\]

B5. Вычислите значения от \(\theta'_1\) до \(\theta'_7\) и заполните соответствующие столбцы в таблице в листах ответов для пункта B1.

B6. Постройте на миллиметровке в листах ответов новый полулогарифмический график, позволяющий получить уточнённые значения \(\lambda\) и \(A\). Обозначим эти значения как \(\lambda^1\) и \(A^1\) соответственно.

Для получения точного решения необходимо многократно повторять процесс корректировки значений, но в итоге мы обнаружим, что окончательный ответ близок к \(\lambda=\dfrac{\lambda^0+\lambda^1}{2}\) и \(A=\dfrac{A^0+A^1}{2}\).

B7. Из условия равенства мощности, входящей в стержень, и мощности, выходящей из него, вычислите \(h\) и \(k\).

Часть C. Измерение неизвестной мощности (2.0 балла)

Оставляя вентиляторы включенными, включите нагреватели 2 и 3 и подождите, пока температура не достигнет равновесия во всех точках медного стержня (это займет около 15 минут).

C1. Измерьте и запишите значения температур с \(\theta_1\) по \(\theta_7\).

Можно показать, что в этом случае зависимость температуры от расстояния \(x\) выражается следующим образом:\[\theta_x-\theta_\mathrm b=A'\operatorname{ch}\left[\lambda(x-x_0)\right],\]где \(A'\) – постоянная, а \(\operatorname{ch}(u)\) – гиперболический косинус \(u\), который определяется как:\[\operatorname{ch}(u)=\frac{\mathrm e^u+\mathrm e^{-u}}{2}.\]

C2. Постройте график зависимости температуры от расстояния и вычислите отсюда \(x_0\).

C3. Используя свой собственный метод, вычислите мощность нагревателя 3. Поясните свой метод как можно яснее, записав в явном виде математические формулы, которые вы использовали для получения результатов.