Чёрный ящик

Измерьте напряжение на одном резисторе и токи короткого замыкания между разными парами проводов: каждое измерение даёт одно уравнение с \(\mathcal E\) и сопротивлениями.

Подключим между чёрным и белым проводами «чёрного ящика» вольтметр. Регистрируем напряжение \(U_3\).

\[\frac{U_3}{R_3}=\frac{\mathcal E}{R_1+R_2+R_3}\tag{1}\] Затем подключим между синим и белым проводами «чёрного ящика» миллиамперметр (точнее, микроамперметр) и измерим соответствующий ток \(I_1\):

\[I_1=\frac{\mathcal E}{R_1}\tag{2}\] Затем подключим между чёрным и белым проводами «чёрного ящика» миллиамперметр (ещё точнее, микроамперметр) и измерим соответствующий ток \(I_2\):

\[I_2=\frac{\mathcal E}{R_1+R_2}\tag{3}\] Затем подключим между синим и чёрным проводами «чёрного ящика» миллиамперметр (ещё точнее, микроамперметр) и измерим соответствующий ток \(I_3\):

\[I_3=\frac{\mathcal E}{R_1+R_3}\tag{4}\] Выразим электродвижущую силу \(\mathcal E\) в формулах (2), (3) и (4). Соединив формулы (2) и (3), получаем выражение: \[I_1R_1=I_2R_1+I_2R_2,\] откуда в свою очередь можем выразить \(R_2\) через резистор \(R_1\) \[R_2=\frac{I_1-I_2}{I_2}R_1.\tag{5}\] Соединив же формулы (2) и (4), получаем выражение: \[I_1R_1=I_3R_1+I_3R_3,\] откуда в свою очередь можем выразить \(R_3\) через резистор \(R_1\) \[R_3=\frac{I_1-I_3}{I_3}R_1.\tag{6}\]

Подставив полученные выражения в преобразованную формулу (1), получаем значение \(\mathcal E\) \[\mathcal E=U_3\,\frac{R_1+R_1\dfrac{I_1-I_2}{I_2}+R_1\dfrac{I_1-I_3}{I_3}}{R_1\dfrac{I_1-I_3}{I_3}} \quad\Rightarrow\quad \mathcal E=U_3\,\frac{1+\dfrac{I_1-I_2}{I_2}+\dfrac{I_1-I_3}{I_3}}{\dfrac{I_1-I_3}{I_3}}.\] Дальше из формул (5) и (6) находим значения \(R_2\) и \(R_3\), а по формуле (2) вычисляем \(R_1\): \[R_1=\frac{\mathcal E}{I_1}.\] В контрольном опыте значения, измеренные вольтметром и миллиамперметром, следующие: \[U_3=3{,}405\text{ В},\quad I_1=1{,}26\text{ мА},\quad I_2=1{,}022\text{ мА},\quad I_3=0{,}699\text{ мА}\] и вытекающие из них ответы: \[\mathcal E_1=9{,}220\text{ В},\quad R_1=7317\text{ Ом},\quad R_2=1463\text{ Ом},\quad R_3=5142\text{ Ом}.\]

Если же измерять вольтметром и микроамперметром, то: \[U_3=3{,}405\text{ В},\quad I_1=1{,}232\text{ мА},\quad I_2=1{,}022\text{ мА},\quad I_3=0{,}699\text{ мА}\] и вытекающие из них ответы: \[\mathcal E_1=8{,}788\text{ В},\quad R_1=7133\text{ Ом},\quad R_2=1465\text{ Ом},\quad R_3=5439\text{ Ом}.\] Различие приведённых выше ответов происходит от большого (в нашем случае — одного порядка с сопротивлениями резисторов) внутреннего сопротивления микроамперметра, которое, к сожалению, не указано в паспорте измерительного прибора.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.