График потенциала

На расстояниях порядка \(d \ll R\) поле каждого диска однородно, поэтому потенциал вблизи диска убывает линейно с расстоянием от его центра. Сложите потенциалы трёх дисков.

a) Потенциал в центре получается в результате интегрирования (суммирования) потенциалов центров тонких колец, на которые разбивается диск: \[\varphi_0 = \int\limits_0^R \frac{\sigma\, 2\pi r\,dr}{4\pi\varepsilon_0 r} = \int\limits_0^R \frac{\sigma\,dr}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}.\]

b) Поскольку поле на расстояниях порядка \(d\) однородное, потенциал уединённого диска на оси рядом с центром изменяется линейно в зависимости от координаты \[\varphi(x) = \varphi_0 - E\,|x| = \varphi_0 - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,|x| .\] Последняя формула может быть получена также в результате интегрирования по кольцам, похожего на вывод формулы для \(\varphi_0\). Действительно, потенциал на оси диска в точке с координатой \(x\) равен \[\varphi(x) = \int\limits_0^R \frac{\sigma\, 2\pi r\,dr}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{r^2+x^2}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{R^2+x^2} - |x|\right).\] При малых \(x\) в подкоренном выражении можно пренебречь \(x^2\): \(\sqrt{R^2+x^2} - |x| \approx R\left(1 + \dfrac{x^2}{2R^2}\right) - |x| \approx R - |x|\), так что в итоге получится то же соотношение.

Рассмотрев суперпозицию трёх дисков, найдём зависимость потенциала системы дисков от координаты: \[\varphi(x) = -\frac{\sigma|x|}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma|x-d|}{\varepsilon_0} + \frac{3\sigma|x-2d|}{2\varepsilon_0}.\] Учитывая, что \(d = \dfrac{R}{1000}\), получаем, раскрыв модули, зависимость потенциала от безразмерной координаты на интересующем нас отрезке: \[\begin{cases} \varphi(a) = (4 - 2a)\text{ В}, & 0 < a \leqslant 1;\\ \varphi(a) = (8 - 6a)\text{ В}, & 1 < a \leqslant 2. \end{cases}\] Искомый график изображён на рисунке.

Этот график можно получить и без использования формулы для потенциала вблизи диска. Систему дисков можно рассматривать как суперпозицию двух конденсаторов: обкладки одного заряжены с поверхностной плотностью \(\pm 3\sigma\), расстояние между ними равно \(2d\), обкладки другого заряжены с поверхностной плотностью \(\mp 2\sigma\), расстояние между ними равно \(d\). Потенциал поля уединённого конденсатора с поверхностными зарядами \(\pm\sigma\) на обкладках, расположенных в точках с координатами \(\pm\dfrac{d}{2}\), даётся формулами \[\varphi(x) = \begin{cases} \dfrac{\sigma x}{\varepsilon_0}, & |x| \leqslant \dfrac{d}{2};\\[2mm] \pm\dfrac{\sigma d}{2\varepsilon_0}, & |x| \geqslant \dfrac{d}{2}. \end{cases}\] Эти формулы удовлетворяют условию равенства нулю потенциала в бесконечно удалённой точке, при этом снаружи конденсатора потенциал можно считать постоянным только вблизи конденсатора. Сложив потенциалы полей конденсаторов, получим искомый график.