В задаче рассматривается физическая модель, описывающая некоторые особенности процесса накачивания камеры велосипедного колеса. Объём камеры \(V_0\) считается неизменным. Начальное давление воздуха в камере равно \(P_0\) при температуре окружающей среды \(T_0\). После накачивания воздух в камере должен создавать давление \(P\) при той же температуре \(T_0\). Воздух считается идеальным двухатомным газом (\(c_V = 2{,}5R\)). a) (6 баллов) В этом пункте камеру соединяют через ниппель с сосудом очень большого объёма \(V_1\) (\(V_1 \gg V_0\)), который содержит воздух при температуре \(T_0\) и таком давлении \(P_{\max}\) (\(P_{\max} > P\)), что после заполнения камеры и её охлаждения до температуры \(T_0\) давление воздуха в камере становится равно \(P\). Ниппель пропускает воздух в камеру, до тех пор пока давление в ней не сравняется с давлением в сосуде, после этого ниппель закрывается и обратно воздух не выпускает. «Проталкивание» в камеру порции воздуха из сосуда происходит очень быстр

a) \(T_{\max} = \left(1 + \dfrac25\cdot\dfrac{P-P_0}{P}\right)T_0 = 380\) К, \(P_{\max} = P\dfrac{T_{\max}}{T_0} = 3{,}80\cdot 10^5\) Па; b1) \(N = \dfrac{(P-P_0)V_0}{P_0V_C}\); b2) \(A_i = \dfrac72 P_i^{2/7}P_0^{5/7}V_C - \dfrac52 P_0V_C\); b3) \(\Delta P_i = \dfrac75\,P_i^{2/7}P_0^{5/7}\dfrac{V_C}{V_0}\); b4) \(P_k = P_0\left(1 + \dfrac{V_C}{V_0}k\right)^{7/5}\); b5) \(P_{\max} = P_0\left(\dfrac{P}{P_0}\right)^{7/5} \approx 4{,}7\cdot 10^5\) Па, \(T_{\max} = T_0\dfrac{P_{\max}}{P} \approx 466\

Накачивая шину — МОШ 2023/24, 11 кл., задача 4

Накачивая шину
МОШ 2023/24, 11 кл.
6/10
В задаче рассматривается физическая модель, описывающая некоторые особенности процесса накачивания камеры велосипедного колеса. Объём камеры \(V_0\) считается неизменным. Начальное давление воздуха в камере равно \(P_0\) при температуре окружающей среды \(T_0\). После накачивания воздух в камере должен создавать давление \(P\) при той же температуре \(T_0\). Воздух считается идеальным двухатомным газом (\(c_V = 2{,}5R\)).

a) (6 баллов) В этом пункте камеру соединяют через ниппель с сосудом очень большого объёма \(V_1\) (\(V_1 \gg V_0\)), который содержит воздух при температуре \(T_0\) и таком давлении \(P_{\max}\) (\(P_{\max} > P\)), что после заполнения камеры и её охлаждения до температуры \(T_0\) давление воздуха в камере становится равно \(P\). Ниппель пропускает воздух в камеру, до тех пор пока давление в ней не сравняется с давлением в сосуде, после этого ниппель закрывается и обратно воздух не выпускает.

«Проталкивание» в камеру порции воздуха из сосуда происходит очень быстро, поэтому можно считать, что процесс «проталкивания» осуществляется без теплообмена между этой порцией и воздухом, остающимся в сосуде, а также между воздухом в камере и окружающей средой. В результате температура и давление воздуха в камере повышаются до значений \(P_{\max}\) и \(T_{\max}\). Через некоторое время после этого температура воздуха в камере сравнивается с температурой окружающей среды \(T_0\), давление в камере становится равно \(P\).

Считая известными значения \(T_0 = 300\) K, \(P = 3\cdot 10^5\) Па и \(P_0 = 10^5\) Па, определите \(P_{\max}\) и \(T_{\max}\).

b) Теперь представим себе, что камера накачивается воздухом при помощи ручного насоса. В начале каждого цикла цилиндр насоса объёмом \(V_C\) (\(V_C \ll V_0\)) заполняется воздухом при атмосферном давлении \(P_0\) и температуре \(T_0\). Пусть в начале \(i\)-го цикла давление в камере равно \(P_{i-1}\). На \(i\)-м цикле воздух в цилиндре сначала адиабатически сжимается поршнем от давления \(P_0\) до давления \(P_i\), а затем «проталкивается» через ниппель при постоянном давлении \(P_i\) без теплообмена, как в пункте a) задачи. После этого открывается впускной клапан, через который в цилиндр насоса поступает воздух из окружающей среды при давлении \(P_0\), поршень отодвигается в исходное положение, цилиндр заполняется атмосферным воздухом при давлении \(P_0\). На этом цикл заканчивается. Естественно, придётся совершить довольно много (\(N \gg 1\)) таких циклов «проталкивания» воздуха в камеру, для того чтобы после установления температуры \(T_0\) давление в камере стало равно \(P\). Поскольку накачивание камеры происходит очень быстро, теплообмен между воздухом в камере и окружающей средой начинается уже после окончания работы насоса.

b1) (1 балл) Сколько циклов \(N\) необходимо совершить, чтобы накачать камеру? Параметры \(P_0\), \(P\), \(V_C\) и \(V_0\) считаются известными.

b2) (3 балла) Какую работу \(A_i\) совершает поршень на \(i\)-м цикле? Ответ выразите через \(P_0\), \(P_i\) и \(V_C\).

b3) (2 балла) Определите изменение давления в камере на \(i\)-м цикле \(\Delta P_i\), считая \(P_0\), \(P_i\), \(V_C\) и \(V_0\) известными.

b4) (2 балла) Для того чтобы найти давление в камере после окончания \(k\)-го цикла, используем следующий приём. Соотношение, полученное в предыдущем пункте, можно представить в виде \[\frac{\Delta P_i}{f(P_i)} = \alpha, \tag{1}\] где \(f(P_i)\) — некоторая функция \(P_i\), \(\alpha\) — коэффициент, не зависящий от \(P_i\) (\(\alpha\) и \(f(P_i)\) вам известны, если вы сделали пункт b3). Просуммируем выражения, даваемые формулой (1), от \(i = 1\) до \(i = k\): \[\sum_{i=1}^{k}\frac{\Delta P_i}{f(P_i)} = \alpha\cdot k. \tag{2}\] Суммирование в формуле (1) можно приближённо заменить на интегрирование: \[\sum_{i=1}^{k}\frac{\Delta P_i}{f(P_i)} \approx \int\limits_{P_0}^{P_k}\frac{dP}{f(P)}.\] Определите давление \(P_k\) в камере после \(k\)-го цикла. Параметры \(P_0\), \(V_C\), \(V_0\) и \(k\) считаются известными.

b5) (1 балл) Вычислите \(P_{\max}\) и \(T_{\max}\), считая известными значения параметров \(T_0 = 300\) K, \(P = 3\cdot 10^5\) Па и \(P_0 = 10^5\) Па.

Указание. Значение определённого интеграла от степенной функции даётся формулой \[\int\limits_{a_1}^{a_2}\frac{dx}{x^k} = \frac{1}{k-1}\left(\frac{1}{a_1^{k-1}} - \frac{1}{a_2^{k-1}}\right).\]
▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Пока воздух «проталкивается», теплообмена нет, и работа сил давления идёт на увеличение внутренней энергии всего воздуха в камере. В пункте b) работа на цикле складывается из адиабатического сжатия порции и её выталкивания при постоянном давлении; приравняйте её приращению внутренней энергии газа в камере.
Ответ
a) \(T_{\max} = \left(1 + \dfrac25\cdot\dfrac{P-P_0}{P}\right)T_0 = 380\) К, \(P_{\max} = P\dfrac{T_{\max}}{T_0} = 3{,}80\cdot 10^5\) Па; b1) \(N = \dfrac{(P-P_0)V_0}{P_0V_C}\); b2) \(A_i = \dfrac72 P_i^{2/7}P_0^{5/7}V_C - \dfrac52 P_0V_C\); b3) \(\Delta P_i = \dfrac75\,P_i^{2/7}P_0^{5/7}\dfrac{V_C}{V_0}\); b4) \(P_k = P_0\left(1 + \dfrac{V_C}{V_0}k\right)^{7/5}\); b5) \(P_{\max} = P_0\left(\dfrac{P}{P_0}\right)^{7/5} \approx 4{,}7\cdot 10^5\) Па, \(T_{\max} = T_0\dfrac{P_{\max}}{P} \approx 466\) К.
Решение
a) Для того чтобы при температуре окружающей среды давление в камере оказалось равно \(P\), следует «протолкнуть» в камеру количество воздуха \[\Delta\nu = \frac{(P-P_0)V_0}{RT_0}.\] Этот воздух занимал в сосуде объём \[V' = \frac{\Delta\nu\,RT_0}{P_{\max}} = \frac{(P-P_0)V_0}{P_{\max}}.\] «Проталкивая» порцию воздуха в камеру, силы давления совершают работу \[A = P_{\max}V' = (P-P_0)V_0 .\] Можно считать, что давление в сосуде почти не меняется, ведь его объём очень большой. За счёт работы \(A\) увеличивается внутренняя энергия воздуха в камере и воздуха в проталкиваемой порции. Поскольку теплообмена нет, получаем соотношение \[(P-P_0)V_0 = \frac{5R(\nu + \Delta\nu)\,\Delta T}{2},\] где \(\nu\) — начальное количество воздуха в камере. Для конечного состояния воздуха в камере (после охлаждения до температуры \(T_0\)) справедливо уравнение состояния \[PV_0 = (\nu + \Delta\nu)RT_0 .\] Подставляя количество вещества из второго соотношения в первое, получаем уравнение \[\frac{P-P_0}{P} = \frac52\cdot\frac{\Delta T}{T_0},\] из которого следует ответ для температуры \[T_{\max} = \left(1 + \frac25\cdot\frac{P-P_0}{P}\right)T_0 = 380\text{ К}.\] Давление находится из закона Шарля \[P_{\max} = P\,\frac{T_{\max}}{T_0} = 3{,}80\cdot 10^5\text{ Па}.\]

b1) Количество циклов «проталкивания» \(N\) можно определить, зная начальное и конечное количество газа в камере. За один цикл в камеру проталкивается воздух из насоса в количестве \(\Delta\nu = \dfrac{P_0V_C}{RT_0}\), поэтому количество циклов равно \[N = \frac{(P-P_0)V_0}{RT_0\,\Delta\nu} = \frac{(P-P_0)V_0}{P_0V_C}.\]

b2) При адиабатическом сжатии от давления \(P_0\) до давления \(P_i\) поршнем совершается работа, равная изменению внутренней энергии сжимаемого в насосе воздуха \[A_{Q=0} = \frac52 P_0V_C\left(\frac{T'}{T_0} - 1\right),\] где \(T'\) — температура, которая достигается в конце сжатия. При помощи уравнения адиабаты \(TP^{-2/7} = \text{const}\) выражение для работы при адиабатическом сжатии может быть записано в виде \[A_{Q=0} = \frac52 P_0V_C\left(\left(\frac{P_i}{P_0}\right)^{2/7} - 1\right).\] Далее работа совершается при постоянном давлении. Она равна \[A_P = P_iV' = P_iV_C\left(\frac{P_0}{P_i}\right)^{5/7} = P_i^{2/7}P_0^{5/7}V_C .\] Суммируя эти работы, получаем для работы на \(i\)-м цикле формулу \[A_i = A_{Q=0} + A_P = \frac72 P_i^{2/7}P_0^{5/7}V_C - \frac52 P_0V_C .\]

b3) За счёт работы \(A_i\) изменяется внутренняя энергия того воздуха, который уже был в камере на момент начала \(i\)-го цикла, и той порции, которая «проталкивается» в камеру. Изменение внутренней энергии равно \[\Delta U_i = \frac52 P_iV_0 - \frac52\left(P_{i-1}V_0 + P_0V_C\right).\] Приравнивая изменение внутренней энергии и работу \(A_i\), с учётом равенства \(\Delta P_i = P_i - P_{i-1}\) имеем формулу \[\Delta P_i = \frac75\cdot P_i^{2/7}P_0^{5/7}\,\frac{V_C}{V_0}.\]

b4) Осуществляя интегрирование, как описано в формулировке задачи, получаем соотношение \[\frac75\left(P_k^{5/7} - P_0^{5/7}\right) = \frac75\,P_0^{5/7}\,\frac{V_C}{V_0}\cdot k .\] Сделав преобразования в полученной формуле, находим ответ \[P_k = P_0\left(1 + \frac{V_C}{V_0}\,k\right)^{7/5}.\]

b5) Подставляем в формулу для давления количество циклов \(k = N\) из пункта b1), находим максимальное давление \[P_{\max} = P_0\left(1 + \frac{P-P_0}{P_0}\right)^{7/5} = P_0\left(\frac{P}{P_0}\right)^{7/5} \approx 4{,}7\cdot 10^5\text{ Па}.\] Максимальную температуру можно найти из закона Шарля, как при ответе на вопрос пункта a), получится формула \[T_{\max} = T_0\,\frac{P_{\max}}{P} \approx 466\text{ К}.\]
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Накачивая шину

Накачивая шину

Похожие задачи