Падающий поршень

До первой остановки газ сжимается адиабатически и обратимо (\(PV^{5/3} = \mathrm{const}\)), а механическая энергия поршня с гирей целиком уходит во внутреннюю энергию газа. В конце процесс необратим: адиабата уже не годится, но закон сохранения энергии вместе с условием равновесия поршня по-прежнему работает.

Так как поршень вначале находится в равновесии, то \(P_0S = mg\) или \(P_0V_0 = mgh_0\), где \(P_0\) и \(V_0\) — начальное давление и начальный объём газа соответственно, \(S\) — площадь внутреннего поперечного сечения сосуда.

При движении системы механическая энергия поршня с грузом передаётся только газу (поршень перемещается в сосуде практически без трения, снаружи вакуум), а газ не передаёт теплоту в окружающую среду (по условию). В этом случае первое начало термодинамики имеет вид: \[A_\text{внеш} = \Delta U,\] где \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии газа, \(A_\text{внеш}\) — работа внешних сил над газом, равная убыли полной механической энергии поршня с грузом: \(A_\text{внеш} = -\Delta E\). В результате получаем: \[\Delta U + \Delta E = 0.\]

Согласно условию, при движении поршня от исходного положения до его первой остановки процессы в газе можно считать равновесными. Поэтому будем считать, что с газом происходит обратимый адиабатический процесс.

Для него справедливо уравнение Пуассона \(PV^\gamma = \mathrm{const}\), где \(\gamma = 5/3\) для одноатомного идеального газа, \(P\) и \(V\) — давление и объём газа в некоторый произвольный момент времени. В нашем случае \(PV^{5/3} = P_0V_0^{\,5/3}\) или \[P = P_0\left(V_0/V\right)^{5/3} = P_0\left(h_0/h\right)^{5/3},\] \[PV = P_0V_0\left(V_0/V\right)^{2/3} = P_0V_0\left(h_0/h\right)^{2/3},\] где \(h\) — расстояние от поршня до дна сосуда в произвольный момент времени.

Рассмотрим момент времени, когда поршень находился в самой нижней точке на расстоянии \(h_\text{min}\) от дна сосуда. В этот момент скорость поршня с грузом равна нулю, т. е. \(\Delta E = (M + m)g(h_\text{min} - h_0)\).

Изменение внутренней энергии газа: \[\Delta U = \frac32\left(P_1V_1 - P_0V_0\right) = \frac32 P_0V_0\left(\left(\frac{h_0}{h_\text{min}}\right)^{2/3} - 1\right) = \frac32 mgh_0\left(\left(\frac{h_0}{h_\text{min}}\right)^{2/3} - 1\right),\] где \(P_1\) и \(V_1\) — давление и объём газа соответственно в рассматриваемый момент времени.

После объединения получаем: \[\frac32 mgh_0\left(\left(\frac{h_0}{h_\text{min}}\right)^{2/3} - 1\right) + (M + m)gh_0\left(\frac{h_\text{min}}{h_0} - 1\right) = 0.\] Подставляем \(\dfrac{h_0}{h_\text{min}} = 2\) и находим: \[M/m = 3\left(2^{2/3} - 1\right) - 1 \approx 0{,}762.\] \[M \approx 0{,}762m \approx 76\text{ кг}.\]

Будем рассматривать поршень с грузом как единое тело. Максимальный модуль ускорения поршня с грузом достигается, когда их скорость равна нулю, при этом суммарная внешняя сила — максимальна. Этим условиям удовлетворяют два положения поршня: начальное положение (сила тяжести больше силы давления газа на поршень) и нижнее положение (сила давления газа на поршень больше силы тяжести).

В начальный момент модуль ускорения поршня с грузом равен: \[a_0 = \frac{(M + m)g - P_0S}{M + m} = \frac{(M + m)g - mg}{M + m} = \frac{M}{M + m}\,g \approx 0{,}43g.\] В нижнем положении модуль ускорения поршня с грузом равен: \[\begin{gather*} a = \frac{P_0S\left(h_0/h_\text{min}\right)^{5/3} - (M + m)g}{M + m} = g\left(\frac{m\left(h_0/h_\text{min}\right)^{5/3}}{M + m} - 1\right) =\\ = g\left(\frac{2^{5/3}m}{M + m} - 1\right) \approx 0{,}80g. \end{gather*}\] Выбираем максимальное значение: \[a_\text{max} = g\left(\frac{m\left(h_0/h_\text{min}\right)^{5/3}}{M + m} - 1\right) \approx 0{,}80g = 8\text{ м/с}^2.\]

Максимальной скорости поршень достигает на первом участке движения (от верхней точки до нижней). При максимальной скорости движения ускорение равно нулю, т. е. сила тяжести \((M + m)g\) равна силе давления газа \(P_2S\): \[(M + m)g = P_2S = P_0S\left(h_0/h_2\right)^{5/3} = mg\left(h_0/h_2\right)^{5/3},\] где \(h_2\) — расстояние от поршня до дна сосуда в указанный момент времени. Из полученного уравнения найдём \(h_2/h_0 = (M/m + 1)^{-3/5} \approx 0{,}712\).

Закон сохранения энергии (первое начало термодинамики) для газа записывается так: \[\frac32\left(P_2V_2 - P_0V_0\right) + (M + m)g(h_2 - h_0) + \left(\frac{(M + m)v_\text{max}^2}{2} - 0\right) = 0\] или \[\frac32 mgh_0\left(\left(\frac{h_0}{h_2}\right)^{2/3} - 1\right) + (M + m)gh_0\left(\frac{h_2}{h_0} - 1\right) + \frac{(M + m)v_\text{max}^2}{2} = 0,\] где \(P_2\) и \(V_2\) — давление и объём газа соответственно в момент прохождения поршнем положения равновесия. Откуда: \[\frac{v_\text{max}^2}{2gh_0} = \left(1 - \frac{h_2}{h_0}\right) + \frac{3m}{2(M + m)}\left(1 - \left(\frac{h_0}{h_2}\right)^{2/3}\right).\] Подставляем значение \(h_2/h_0\): \[\frac{v_\text{max}^2}{2gh_0} \approx 0{,}07,\] откуда получаем: \[v_\text{max} \approx \sqrt{0{,}14gh_0} \approx 1{,}2\text{ м/с}.\]

На длительном промежутке времени процессы, протекающие в газе, становятся необратимыми, т. е. механическая энергия необратимо переходит во внутреннюю энергию.

Уравнение адиабаты \(PV^\gamma = \mathrm{const}\), выведенное для обратимого процесса, в этом случае не применимо.

Запишем условие равновесия поршня с грузом: \(PS = (M + m)g\). Закон сохранения энергии (первое начало термодинамики) в этом случае имеет вид: \[\frac32\left(PSh - P_0V_0\right) + (M + m)g(h - h_0) = 0.\] Получаем: \[\frac32\left((M + m)gh - mgh_0\right) + (M + m)g\left(h - h_0\right) = 0.\] Находим новую высоту: \[h = \frac{5m + 2M}{5(M + m)}\,h_0 \approx 0{,}74h_0 = 0{,}74\text{ м}.\]