Аэрохоккей

Шайбы гладкие, поэтому при столкновении импульс шайбы меняется только вдоль линии, соединяющей центры. Запишите законы сохранения импульса и энергии для удара шайбы 2 сразу по двум шайбам, затем проследите, какие столкновения произойдут дальше.

a) Шайба 1 останавливается, передавая импульс шайбе 2. Далее происходит столкновение шайбы 2 с шайбами 3 и 4. Шайбы гладкие, следовательно, их скорости в процессе столкновения меняются только под действием сил нормальной реакции, поэтому после столкновения скорости третьей и четвёртой шайб направлены под углом \(\dfrac{\pi}{4}\) к горизонтальной прямой, направление скорости второй шайбы не меняется. Теперь расчёт скорости второй шайбы \(v_2\) и третьей шайбы \(v_3\) после столкновения может быть сделан на основе законов сохранения. Получится система уравнений \[\begin{cases} \sqrt2\,v_3 + v_2 = v,\\ 2v_3^2 + v_2^2 = v^2. \end{cases}\] Решая систему, находим следующие значения скоростей второй и третьей шайб: \(v_2 = 0\), \(v_3 = \dfrac{v}{\sqrt2}\). Таким образом, вторая шайба останавливается, а третья и четвёртая движутся со скоростью \(\dfrac{v}{\sqrt2}\) по траекториям, составляющим одинаковые углы \(\dfrac{\pi}{4}\) с горизонтальной прямой. Легко видеть, что в процессе дальнейшего движения шайбы 3 и 4 с пятой шайбой не сталкиваются, поэтому пятая шайба покоится в исходном положении. В итоге имеем ответы: \(v_1 = v_2 = v_5 = 0\), \(v_3 = v_4 = \dfrac{v}{\sqrt2} \approx 0{,}7\) м/c.

b) В этом случае после столкновения второй шайбы с шайбами 3 и 4 скорости этих шайб \(u_3\) и \(u_4\) направлены под углом \(\dfrac{\pi}{6}\) к горизонтальной прямой, вдоль которой до и после столкновения движется вторая шайба. Обозначив \(u_2\) скорость второй шайбы после столкновения, запишем законы сохранения. В итоге получим систему уравнений \[\begin{cases} \sqrt3\,u_3 + u_2 = v,\\ 2u_3^2 + u_2^2 = v^2. \end{cases}\] Решив систему, находим значения скоростей: \(u_2 = -\dfrac{v}{5}\), \(u_3 = \dfrac{2\sqrt3\,v}{5}\). Таким образом, вторая шайба летит назад. Очевидно, далее она сталкивается с первой шайбой и передаёт ей весь свой импульс. Шайбы 3 и 4 при дальнейшем движении сталкиваются с шайбой 5. Рассмотрим это столкновение.

Из симметрии следует, что скорость шайбы 5 после столкновения будет направлена горизонтально. Пусть ось \(OX\) системы координат также направлена горизонтально. Обозначим \(v_\perp\) проекцию скорости шайбы 3 после столкновения на направление, перпендикулярное линии, соединяющей центры шайб 3 и 5. Проекция скорости на это направление при столкновении не меняется, поэтому \(v_\perp = u_3\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{3v}{5}\). Проекцию скорости шайбы 3 на направление вдоль линии, соединяющей центры 3 и 5, обозначим \(v_\parallel\). Положительному значению проекции \(v_\parallel\) соответствует направление от шара 3 к шару 5.

Закон сохранения импульса в проекции на ось \(OX\) даётся уравнением \[\frac{6v}{5} = v_5 + 2v_\perp\cos\frac{\pi}{3} + 2v_\parallel\cos\frac{\pi}{6},\] которому после преобразований можно придать вид \[\frac{3v}{5} = v_5 + v_\parallel\sqrt3 .\] Закон сохранения энергии можно записать в виде \[\frac{24v^2}{25} = v_5^2 + 2v_\perp^2 + 2v_\parallel^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{6v^2}{25} = v_5^2 + 2v_\parallel^2 .\] Законы сохранения образуют систему уравнений. Эту систему можно решить, например, так: выразим \(v_5\) из закона сохранения импульса и подставим в закон сохранения энергии. В итоге получится квадратное уравнение \[5v_\parallel^2 - \frac{2\cdot 3\sqrt3}{5}\,v\,v_\parallel + \frac{3}{25}v^2 = 0.\] Решив которое, найдём корни \[v_\parallel^{(1)} = \frac{\sqrt3\,v}{25}, \qquad v_\parallel^{(2)} = \frac{\sqrt3\,v}{5}.\] Второй корень не имеет физического смысла, поскольку скорость шайбы 5 в этом случае, как следует из закона сохранения импульса, оказывается равна нулю. Подставляя значение \(v_\parallel^{(1)}\) в закон сохранения импульса, получаем ответ для скорости пятой шайбы \[v_5 = \frac{3v}{5} - v_\parallel^{(1)}\sqrt3 = \frac{12v}{25} = 0{,}48\text{ м/с}.\]

Для конечной скорости шайб 3 и 4 имеем \[v_4 = v_3 = \sqrt{v_\parallel^2 + v_\perp^2} = \frac{2\sqrt{57}\,v}{25} \approx 0{,}60\text{ м/с}.\]