Цилиндрическая линза

Вдоль оси цилиндра размеры не меняются, поперёк — меняются. Поэтому наклон прямых на фотографии отличается от наклона самих линий; отношение тангенсов даёт поперечное увеличение. Мензурку вблизи оси можно считать двумя тонкими плосковыпуклыми линзами с пластинкой между ними.

a) В направлении вдоль оси \(O\) размер пучка, как следует из условия, не меняется. Найдём изменение размера пучка в направлении, перпендикулярном оси. Фокусное расстояние плосковыпуклой линзы, сделанной из материала с показателем преломления \(\dfrac43\), даётся формулой \[f = \frac{R}{n-1} = 3R .\] Таким образом, если бы экран располагался на расстоянии \(3R\) от линзы, то пучок круглого сечения изобразился бы в сильно вытянутый эллипс — в отрезок длиной \(2r\). Однако экран находится на расстоянии \(2R\) от линзы, поэтому на нём наблюдается светлое пятно в виде эллипса с полуосями \(r\) и \(\dfrac{r}{3}\), площадь которого равна \[S = \frac{\pi r^2}{3}.\] Отметим, что можно было бы обойтись без использования формулы для \(f\). Можно было рассмотреть преломление лучей падающего пучка на выпуклой границе раздела и найти расстояние, на котором пересекаются эти лучи.

b) Для лучей, идущих вблизи оси мензурки, последняя представляет собой две тонкие плосковыпуклые линзы (радиус выпуклой поверхности каждой из этих линз равен \(R\)), разделённые плоскопараллельной пластинкой толщиной \(2R\) (см. рис.).

Эта оптическая система формирует перевёрнутое изображение прямой линии, которое имеет вид кривой из-за аберрации. Однако вблизи оси мензурки отрезки прямых приближённо изображаются в отрезки прямых. Поскольку цилиндрическая линза изменяет размер изображения вдоль горизонтальной оси, но не меняет его вдоль вертикальной, углы, которые составляют отрезки-изображения с горизонтальной осью, отличаются от углов между линиями-предметами и горизонталью. Построив на фотографии касательные к линиям-изображениям вблизи оси мензурки, можно сравнить углы, которые образуют касательные к изображениям и прямые (предметы) с горизонталью. На рисунке сделано такое построение, углы обозначены \(\alpha\) и \(\beta\). Справедливо соотношение \[\frac{\tan\alpha}{\tan\beta} = \Gamma_0 ,\] где \(\Gamma_0\) — увеличение (вдоль горизонтальной оси), с которым изображается предмет в системе двух тонких цилиндрических линз и плоскопараллельной пластинки, на которые разбивается исходный цилиндр. Делая измерения по фотографии, устанавливаем, что значение увеличения приближённо равно \[\Gamma_0 \approx \frac85 .\]

Далее расчёт можно провести двумя способами. Первый способ предполагает использование формулы линзы. Сначала рассматривается изображение в первой линзе, рассчитывается его увеличение \(\Gamma_1\). Это изображение является предметом для плоскопараллельной пластинки. Плоскопараллельная пластинка размеров предмета не меняет. Изображение в ней является предметом для второй линзы, в которой получается изображение с увеличением \(\Gamma_2\). Общее увеличение равно произведению увеличений \(\Gamma_0 = \Gamma_1\Gamma_2\). Второй способ предполагает рассмотрение преломления лучей в цилиндре.

Покажем, как делается расчёт первым способом. Пусть предмет находится на расстоянии \(a_1\) от мензурки (так что расстояние от оси мензурки до предмета равно \(x = R + a_1\)). Поскольку фокусное расстояние плосковыпуклой «водяной» линзы равно \(3R\), как следует из формулы для \(f\), расстояние \(a_1'\) до изображения предмета в линзе равно \[a_1' = \frac{3Ra_1}{a_1 - 3R}.\] Величина \(a_1\) может быть отрицательной. Увеличение изображения в первой линзе, таким образом, равно \[\Gamma_1 = \left|\frac{3R}{a_1 - 3R}\right|.\] Расстояние от изображения в первой линзе до второй линзы равно \(2R - a_1'\). Однако между линзами вставлена плоскопараллельная пластинка толщиной \(D\), которая приближает предметы ко второй линзе на расстояние \(\Delta a = D\left(1 - \dfrac1n\right) = \dfrac{R}{2}\). Таким образом, расстояние от изображения в плоскопараллельной пластинке до второй линзы равно \[a_2 = 2R - a_1' - \Delta a = -\frac{3R(a_1 + 3R)}{2(a_1 - 3R)}.\] Подставляя в формулу линзы расстояние \(a_2\), получаем для расстояния до изображения следующую формулу \[a_2' = \frac{R(a_1 + 3R)}{a_1 - R}.\] Из выражений для \(a_2\) и \(a_2'\) находим увеличение изображения во второй линзе \[\Gamma_2 = \left|\frac{a_2'}{a_2}\right| = \left|\frac{2(a_1 - 3R)}{3(a_1 - R)}\right|.\] Теперь, перемножив \(\Gamma_1\) и \(\Gamma_2\), найдём общее увеличение \[\Gamma_0 = \left|\frac{2R}{a_1 - R}\right|.\] Выражение под знаком модуля может быть положительным или отрицательным. Найдём для увеличения \(\Gamma_0 \approx \dfrac85\), измеренного по фотографии, расстояние \(a_1\). Если предположить, что \(a_1 < R\), то после раскрытия модуля и решения уравнения получим \(a_1 = -\dfrac{R}{4}\), что, очевидно, не соответствует физической реальности. Рассматривая значения \(a_1\), удовлетворяющие неравенству \(a_1 > R\), раскрывая модуль и решая уравнение, получаем \(a_1 = 2{,}25R\). Это значение не вступает в противоречие с физической реальностью. Таким образом, расстояние от оси мензурки до стены получается равным \[x = R + a_1 = \frac{13}{4}R = 130\text{ мм}.\]

При расчёте вторым способом следует рассмотреть два луча, идущих из точечного источника \(S\) (см. рис.). Обозначим угол падения луча \(SD_2\) на поверхность цилиндра \(\varphi\). Будем считать этот угол малым. Он приближённо равен \(\varphi = \dfrac{h}{R}\).

Из закона преломления следует, что острые углы в равнобедренном треугольнике \(D_1OD_2\) равны \(\dfrac{3\varphi}{4}\). Далее нетрудно показать, что угол \(D_1OA_1\) равен \(\dfrac{\varphi}{2}\), а точка \(D_1\) располагается на расстоянии \(h - 2R\dfrac{\varphi}{4} = \dfrac{h}{2}\) от прямой \(A_1A\), поэтому длина отрезка \(BO\) равна \[BO = R + \frac{h/2}{\varphi/2} = 2R .\] Рассматривая треугольники \(BA_1S_1\), \(OA_1S_1\) и \(OAS\), можно получить для \(x = AO\) уравнение \[\frac{h'}{h}\cdot x - 2R = \frac{h'}{h}\cdot 2R .\] Учитывая равенство \(\Gamma_0 = \dfrac{h'}{h}\) и подставляя вместо увеличения \(\Gamma_0\) значение \(\dfrac85\), найденное по фотографии, это уравнение можно решить и получить такой же ответ, как и в первом случае: \(x = \dfrac{13R}{4}\).