Через шар

В этой задаче предлагается проанализировать изображения плоских предметов в прозрачном шаре радиусом \(R\), изготовленном из стекла с показателем преломления \(n = \dfrac{3}{2}\). Во всех частях задачи можно считать линию зрения перпендикулярной плоскости предмета, а центр шара "— лежащим на линии зрения, как показано на схематичном рисунке ниже. Предлагается рассматривать только те изображения, которые формируются параксиальными (приосевыми) лучами.

Линейным увеличением \(\beta\) назовём отношение перпендикулярного линии зрения размера изображения \(h'\) к соответствующему размеру предмета \(h\).

1. (4 балла) В шаре наблюдают изображение удалённого предмета размером \(h\). Расстояние от шара до предмета равно \(L\): \(L \gg R\), \(L \gg h\) (см. рисунок выше). Определите зависимость \(\beta(L)\).

2. (6 баллов) Шар прислонили к поверхности экрана компьютерного монитора. С каким увеличением \(\beta\) можно видеть буквы (и отдельные пиксели) на экране в этом случае?

   

3. (4 балла) На приведённом выше фрагменте фотографии экрана компьютерного монитора, к которому прижат стеклянный шар, наблюдается увеличенное в шаре изображение пикселей.

   Пусть шар радиусом \(R = 2\) см прижали к экрану монитора и сфотографировали с расстояния \(S = 1\) м, при этом центр шара находился вблизи оптической оси объектива, перпендикулярной плоскости экрана. Разрешение монитора составляло \(2560 \times 1440\) пикселей, а длина диагонали экрана "— 32 дюйма. Размеры светочувствительной матрицы фотоаппарата были равны \(23{,}5 \times 15{,}6\) мм. Оказалось, что изображение в шаре горизонтального отрезка экрана из 20 пикселей занимает на фотографии чуть больше 100 точек при размере длинной стороны фотографии 3000 точек. Определите по этим данным фокусное расстояние \(F\) объектива фотоаппарата. Учтите, что \(F \ll S\), 1 дюйм \(\approx 2{,}54\) см.